Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Собственные функции -фг(х) для системы двух частиц во всех направлениях конфигурационного пространства убывают, как Ы"1 ехр {—хг-Ы). В случае трех тел экспоненциальный характер убывания по-прежнему имеет место, однако форма этой зависимости от расстояния в различных частях конфигурационного прострайства неодинакова.
Чтобы описать асимптотику трехчастичных собственных функций, введем ряд обозначений. Пусть (?Ю(Х) — функция, получающаяся из шестимерной сферической волны аналитическим продолжением в точку —Е, Е>0:
п - ехр{^У^1Х1> р ^ - р^йТБ-
Пусть, далее,
— результат аналитического продолжения кластерной сферической волны, отвечающей минимальному двухчастичному собственному значению — х« = тт(— х^). Эти
з
функции и определяют асимптотику собственных функций в различных частях конфигурационного пространства.
Обозначим через разность между показателями экспоненты ()и и фа, аналогичную введенной выше координате |ар:
*а | #а | + У~Е — х? | уа | )•
§ 3. вклад двухчастичных столкновений
161
Заметим, далее, что справедливо представление
Еа = СО а, (УЕ | X | + Ха | Ха \ + V Е - X* | уа |)„
где соа = У.Е — Иа| #а | — ха | г/а;|, из которого следует, что переменная |а принимает положительные значения во всех частях конфигурационного пространства, кроме направлений задаваемых условием соа = 0. В этих направлениях §а = 0. Через ?2((ХЬ) (Я&Г*) мы обозначим области в конфигурационном пространстве, где величина (оа положительна, о)а > 0 (отрицательна, о)а < 0), и через -г- окрестность направления ГДе I СОосI < Ш-\ 0 < v < 1/2.
Собственная функция У?(Х) равна сумме компонент Фа, удовлетворяющих однородным уравнениям (4.45):
Т(Х) = 2Фа(Х), (4.64)
а
которые имеют следующую асимптотическую форму. В области йа+) слагаемое Фа имеет вид «сферической волны», Фа(Х) ~ (}0(Х), а в области Й(а_)— кластерных функций, Фа(Х) ~ (^„.(Х). В переходных областях координатная асимптотика Фа(Х) описывается с помощью
с»
функции еггс (г) = —^= \ е-т2йт: Т/я Л у г
Фа(Х) ~ еггс (юсЛ») + <?0(Х), (4.65)
соа = sign СОа.
Поясним подробнее характер асимптотики 4я(X) в случае, когда точка X перемещается по плоскости ха = ^ ЪхС, У а = ЪгС, где с — некоторый фиксированный вектор, с е К3. Соответствующее двумерное подпространство конфигурационного пространства изображено на рис. 17.
Будем называть фронтом асимптотики геометрическое место точек, где постоянны показатели экспоненциальных мнояштелей. На рис. 16 фронт изображен сплошной кривой. В области йа+) слагаемое Фа имеет сферический фронт. Если же \ха\ ~+ 00 и I ? й^,. то фронт плоский, причем множители амплитуды, зависящие от ха, равны
11 СП. Меркурьев, Л. Д. Фаддеев
152
ГЛ. IV. КОНФИГУРАНИОННОЕ ПРОСТРАНСТВО
соответствующим двухчастичным амплитудам /а(#а) собственных функций основного состояния ^«(^а). При переходе через направление ха = О плоский фронт плавно меняет ориентацию. Множитель, зависящий от равен при этом собственной функции г|?а(#а). В области ?2а0) плоский
фронт переходит в сферический, причем изменепие вида фронта описываетсяч с помощью функций егі:с(?). Асимптотика же
Рис. 17.
Рис. 18.
собственных функций 4я (X) определяется старшими по порядку членами в сумме (4.64). Ее фронт изображен на рис. 18.
§ 4. Функция Грина
В этом параграфе мы опишем свойства трехчастичной функции Грина. Эта функция может быть определена как решение дифференциального уравнения
(- Л* + | V* Ы - Я (X, X', г) = б (X - X')
или аналогичного уравнения по перемепной X'.
С другой стороны, функция Грина может быть разделена на компоненты, которые подчиняются системе компактных уравнений (3.59). Эти уравнения наиболее подходят для изучения свойств функции Грина.
§ 4. ФУНКЦИЯ ГРИНА
163
Особенности и асимптотика. Интегральные уравнения в конфигурационном пространстве (3.59) могут быть исследованы по такой же схеме, как и система компактных уравнений для Г-матрицы (3.28). Отличие состоит лишь в том, что в импульсном представлении ядра итераций имели вид интегралов с полюсными сингулярностями, в то время как после перехода в координатное представление соответствующие особенности выражаются в медленном убывании и осцилляции ядер на бесконечности. Поэтому вместо утверждений о сингулярных интегралах основным техническим средством в этом случае является метод стационарной фазы. В эвристических целях мы проведем сравнение между двумя типами особенностей на нескольких встречавшихся выше примерах.
Простейший пример соотношения между асимптотикой и сингулярностями дает формула (4.4), согласно которой полюсные особенности (р2 — Е — Ю)~1 порождают приближенное решение уравнения Шредингера в форме сферической волны.
Самую сильную особенность в импульсном пространстве имеет ядро свободной резольвенты 6(Р — Р')(Р'2 — — г)"1. Соответствующая функция Грина известна в явном виде:
Л0 (ХА Х\ = 2 хг ~'" " 'Ч (4.66)
Ее-асимптотика определяется эйконалом IX —ХМ, который можно сопоставить процессу распространения сферической волны в точку X от источника с координатой Х!\
