Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Мы считаем, что традиционный математический язык лемм и теорем не подходит для литературы по современ-
б
предисловия
ной математической физике. В то же время, в отличие от обычаев теоретической физики, в такой литературе должна быть ясна в первую очередь математическая идеология и ссылки на физические соображения должны подкрепляться подходящими математическими утверждениями. Особую ценность представляют результаты и методы, полученные или развитые на этом пути впервые.
В настоящей монографии мы ставим себе целью попытаться дать прецедент указанной тенденции на примере актуальной и трудной проблемы теоретической физики. В качестве последней мы выбрали теорию рассеяния для системы N частиц в квантовой механике. Этот выбор обусловлен рядом обстоятельств. Во-первых, задача N тел является традиционной и трудной задачей математической физики. Ее квантовый вариант имеет большое количество интересных приложений в атомной и ядерной физике. Во-вторых, она вполне интересна с математической точки зрения. Методы классического и функционального анализа значительно обогатились в процессе разработки этой проблемы. Наконец, что также важно, оба автора конкретно работали и продолжают работать по данной тематике, так что книга призвана отразить наши собственные взгляды, подходы и результаты.
Как математическая задача рассматриваемая проблема очень громоздка. Более того, ее окончательное решение не получено до сих пор. Изложение строгой по стандартам теоретической математики теории требует большого числа технических деталей, которые зачастую скучны. Поэтому, в соответствии с сформулированной выше методологией мы будем вести основное изложение на формальном уровне, не проводя полных обоснований. Однако, в отличие от работ по теоретической физике, мы признаем необходимость таких обоснований и будем явно указывать, что должпо быть обосновано. Более того, мы объясним методы и пути для такого обоснования. Тем самым читатель-математик будет освобожден от зпако-
предисловие
7
мых ему скучных оценок, а читатель-физик получит представление о математических методах исследования понятной ему физической ситуации. Поэтому мы надеемся, что данная книга будет полезна как математикам, так и физикам. В наибольшей степени она ориентирована на новую и быстро растущую группу специалистов по современной математической физике.
Скажем несколько слов о структуре книги. Она может быть разделена на три части: общая постановка задачи рассеяния для системы N частиц, ее обоснование на основе компактных интегральных уравнений и описание свойств основных объектов теории рассеяния — волновых функций, их асимптотик и амплитуд рассеяния. Первой части посвящены главы I и II, вторая сосредоточена главным образом в главах III и VI и частично в главах IV и V. Глава VII и основная часть глав IV и V посвящены описанию последнего круга вопросов. В главе I вводятся основные понятия динамики, определяются волновые операторы и оператор рассеяния, описываются их общие свойства. В главе II мы переходим к стационарному формализму теории рассеяния. Здесь описываются общие свойства резольвенты оператора энергии, получены выражения для ядер волновых операторов и оператора рассеяния в терминах особенностей ядра. резольвенты. Глава III посвящена методу интегральных уравнений. Получены уравнения типа Фредгольма для систем нескольких частиц, л с их помощью исследованы свойства ядра резольвенты в импульсном представлении. Следующие две главы посвящены изучению волновых функций в конфигурационном пространстве. При этом в главе IV рассматриваются системы нейтральных частиц, а в главе V — системы заряженных частиц. В главе V также получены интегральные уравнения типа Фредгольма для систем заряженных частиц. Глава VI посвящена вопросам математического обоснования теории рассеяния. Здесь доказаны общие свойства волновых операторов, сформулированные в главе I. В главе VII рассмотрен ряд прило-
8
предисловие
жений стационарной формулировки теории рассеяния. Более конкретно цель каждой главы кратко формулируется
в специальных вступлениях. Аналогичными вступлениями снабжены все параграфы, па которые делятся главы.
Нигде в основном тексте мы не даем ссылок на конкретные работы. Специальные литературные указания даны в конце книги.
В заключение приведем несколько основных обозначений, которые будут применяться на протяжении всей книги. Термин «переменная» и буквы х, у, X, р, Р с индексами или без них приняты для обозначения векторов в гг-мерном пространстве. Символ р) означает скалярное произведение векторов к и р, к2 = (к, к), \к\ = = (/с2)1/2, к — единичный вектор по направлению вектора к, к = к\к\~*, йк и йк — элементы объема и поверхности единичной сферы, пробегаемых векторами к ж к соответственно. Символ / без указания пределов интегрирования обозначает интеграл по всей области измецепия переменных интегрирования.
Буквы х, у, X используются для обозначения векторов в конфигурационном пространстве, а />, Р, д — в импульсном пространстве. Переход из координатного представления в импульсное осуществляется при помощи преобразования Фурье:
