Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Начиная с 60-х гг. теория рассеяния приобрела большую популярность в математической физике, и мы не ставим себе цель дать полный обзор соответствующей литературы. Ограничимся упоминанием имен нескольких ученых, которые наиболее близки нам по духу. Это — А. Я. Повзнер, Т. Като, М. Ш. Бирман, С. Ку-рода, Т. Икебе, В. С. Буслаев. Их работы отражены в указанных выше монографиях.
Перенесение основных понятий общей теории рассеяния на случай кулоновского взаимодействия было сделано Дж. Доллар-дом [12].
ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
393
Кинематические понятия в системе N частиц: разбиение, цепочки разбиений и т. д. отработаны в статье О. А. Якубовского [13]. В этой книге мы ввели обозначения кинематических переменных, которые удобно применять для описания сингулярностей и асимптотик резольвенты и волновых функций.
Определение ^-матрицы и многочастичиых задачах, использованное здесь, впервые сформулировано Ф. А. Березиным, Р. А Минлосом и Л. Д. Фаддеевым [14].
Глава II
Переход к стационарной формулировке является стандартным приемом формальной теории рассеяния (см, например, статьи [9, 10]). Структура полюсов многочастичной резольвенты и связь соответствующих вычетов с амплитудой рассеяния даны в [5] на примере системы трех частиц; см. также статью К. Хеппа [15]. Перенос этих формул на случай кулоновского взаимодействия выполнен А. М. Веселовой [16].
Глава III
Компактные интегральные уравнения были использованы для обоснования задачи рассеяния впервые в работе А Я. Повзнера [17]; см. также работу Т. Икебэ [18]. Наше изложение следует § 4 из [5]; см. также [19].
Общие факты о компактных интегральных уравнениях можно найти, например, в книге С. Г. Михлина [20]. Лемма о сингулярных интегралах содержится в монографии Н. И. Мусхелишвилн [21]; она приведена также в [5].
Идея использовать интегральные уравнения в задаче трех частиц впервые появилась в работе Г. В. Скорнякова и К. А. Тер-Мар-тиросяна [22]. В этой работе взаимодействие предполагалось точечным и вывод уравнений существенно опирался на это предположение. Компактные интегральные уравнения для задачи трех тел в общем виде выведены в работе [23]. Полное исследование этих уравнений дано в [5].
В работе О Я. Якубовского [13] изложена кинематическая часть исследования интегральных уравнений для N частиц; см. также работу К. Хеппа [15].
Нетривиальная структура трехчастичного дискретного спектра, описанная в § 4, была обнаружена В. Ефимовым [24]. Изложение в § 4 следует лекциям [25]. Строгое исследование однородных интегральных уравнений см. в работе Д. Р. Яфаева [26].
Модификация интегральных уравнений для случая кулоновского взаимодействия обсуждается в работах Дж, Нобла [27] и А. М. Веселовой [28].
394
ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
Г л а & а IV
В упомянутой выше работе А. Я. Повзнера [17] интегральные уравнения Для системы двух частиц рассматриваются в конфигурационном пространстве. Схема исследования многочастичных уравнений следует работе [29]. Альтернативное исследование в конфигурационном пространстве в рамках техники гильбертова пространства содержится в работах Ж. Жинибра и М. Мулэн [30] и Д. Р. Яфаева [31].
Асимптотика волновых функций задачи трех тел исследовалась Дж. Натталлом [32] и более детально —в работе [33]. Формулировка 7У-частичных дифференциальных уравнений для компонент дана в работах С. П. Меркурьева и С. Л. Яковлева [34]; см. также статью П. Бенуа и М. Л'Уийер [35].
Детальное описание многомерного метода стационарной фазы содержится в книге М. В. Федорюка [36]. Асимптотику сингулярных интегралов можно найти, например, в обзоре Д. Джонса [37].
Глава V
Кулоновские волновые функции для задачи двух частиц были известны на заре квантовой механики — в 20-х гг. Функция Грина оператора Шредингера с кулоновским потенциалом была вычислена много позже; см. работы Л. Хостлера [38], В. А. Братцева и Е. Д Трифонова [39] и Ю. Швингера [40]. В [39] используется известный метод четырехмерных гармоник В. А. Фока.
Хорошим источником формул по гипергеометрическим функциям является книга Г. Бейтмана и А. Эрдейи [41].
УУ-мерные кулоновские волновые функции последовательно использовались Р. К. Петеркопом [42].
Эйкональные асимптотические формулы были даны в работах [43], [44]. Использованный метод эталонного уравнения был впервые сформулирован В. А. Фоком [45].
Глава VI
Асимптотическая полнота для трех частиц впервые доказана в [5] и мы следуем этой работе. Удовлетворительного во всех отношениях доказательства асимптотической полноты для любого N до сих пор нет. Асимптотическая полнота в кулоновском случав для трех частиц доказана в [29, 44]. Исследование строения ку-лоновской ^-матрицы как интегрального оператора дано для двух частиц, например, в работе И. Хербст [46], а в случае задачи трех частиц — в работе [44].
Детальное описание используемых здесь обобщенных функций можно найти в книге И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова [47].
ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
395
Глава VII
Литература по сепарабельному приближению в многочастичных задачах весьма обширна и мы не можем дать ее обзор. Пионерские работы в этой области сделаны А. Митрой [48], Р. Амадо [49], А. Г. Ситенко и В. Ф. Харченко [50]; результаты дальнейшего развития см. в подробной статье С. Ловеласа [51], в обзоре
