Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Меркурьев С.П. -> "Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц" -> 115

Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.

Меркурьев С.П., Фаддеев Л.Д. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц — М.: Наука, 1985 . — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantteordlyasisneschas1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 .. 118 >> Следующая

388
ГЛ. VII. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
На этом мы закончим обоснование формулы следа (7.94).
Простая модель. В заключение этого параграфа мы опишем формулу следа в модельной задаче трех тел: две частицы взаимодействуют с бесконечно тяжелым центром. Мы детально рассматривали рассеяния в этой системе в § 4 главы III.
Переменные в этой задаче разделяются, и исследование функции ?2+(2?) сводится к рассмотрению двухчастичных задач. При этом резольвента выражается через двухчастичные резольвенты с помощью контурного интеграла (2.12). Используя здесь формулы следа (7.75), получим следующее соотношение:
О
(7.115)
Ниже мы получим это соотношение непосредственно из общей формулы следа (7.94) с помощью предельного перехода т3 ->- <*>. Следует отметить, что рассматриваемая модель, по-видимому, является единственным примером трехчастичной системы, для которой существует
след оператора ($*Ц)с«
Так как в модели .^-матрица факторизуется, Я =
= Я^а, то след 8Р(^*^)С равен пулю. Покажем, что
оператор АСЕ) из (7.94), содержащий «истинно» сингулярные члены, здесь также равен нулю.
Проверим сначала, что в модели справедлива формула
Тар + ТРа = (2я)-2(в« I) (Эр - I), а, р = 1,2. (7.116)
Как мы уже отмечали, в рассматриваемой задаче переменные разделяются, поэтому операторы Эа и Эр перестановочны. Заметим, далее, что при т3 ->- <х> справедди-вы равенства
Следовательно, для ядер операторов Т^ имеем пред-
§ 4 ГРУППОВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 389
ставления
Тар 1Л р,Е)- -^7! Е'а-Еа-Ю '
т(~)(Ь Ъ» п\ 2Е\ МЪд'Ъ'КдМЬ'Ч'11»)
причем в силу Р2 = Р'2 знаменатели можно также записать в виде Е$ —- 2?р — Ю. Используя в сумме Т^р* + + формулу
= 2лг8(Е'а -Еа),
получим искомое соотношение
Т^) + Т(э±) = -Т«Тр.
Запишем теперь оператор А(Е) в виде А{Е) =
= 4-[(Тв3 + Тра)* ± %?ь - (Ба + Эр - I)* ^ (Тар + Тра)]
и воспользуемся формулой (7Д16). Почленно дифференцируя произведение ваЭр и (8сь — 1)С8Р — I) и упрощая получившееся выражение с помощью условия унитарности, придем к выводу, что А(Е) = 0.
Рассмотрим далее оператор А(Е). Покажем сначала, что в этой модели справедлива формула
Для этого замечаем, что производные парных Г-матриц относительно Е имеют вид
Поэтому
или, в силу определения символа правая часть
390 ГЛ. VII. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
(7.119)
и
Е
&М - - Я | <2?а 8Р (8* (Яа) ?а/2Га (Яа)) X о
X зр (в? (Яр) (Яр)), Яр = Я - Я«.
Легко проверяется соотношение
Т Жа Е"112 *« ^«) = ?«1/2 8а - (2^)-^« (Яа).
Отсюда следует, что величина ?2м совпадает с интегралом (7.115).
Таким образом, нам осталось показать, что
2т б$ В(д2) + эр д [С]г = 0. (7.120)
может быть переписана как
Дифференцируя относительно Е под знаком следа н пользуясь этими соотношениями для ядер ?а и ?р, получим искомое равенство (7.117).
Преобразуем теперь след врВя. Заметим, что из определения символа д вытекает формула
[д% ± ТЭ + ^ д%]г = (Я*) Рр (Яр)>:
где
Га (еа) = Д. + ^) Я«1/2 Ц_(Яа). (7.118)
Почленно дифференцируя операторы в (7.98') и; упрощая получившееся выражение с помощью условия унитарности операторов Эа и Яр, придем к соотношению
ер Вд = ?2М + 2т ер Вд\
где
І 4. ГРУППОВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 391
Запишем след ер Вд) в виде
л, о
Интегрируя относительно 2?0 по частям и учитывая граничные условия
*Э \е$—о = *а |яа*=о = Од
получаем равенство
Г. Є.
2я* 8Р вк2)=ж 2 (вр [л; §]г + в? [т р*5 а тв]г).
Правая часть совпадает с величиной —(4л0-1 ер [С]г, которая входит в соотношение (7.97). Отсюда следует (7.120).
Итак, мы видим, что в рассмотренной модели оператор (§*^§)с и регуляризующий оператор ,А(/?) равны
нулю. Нетривиальный вклад в формулу следа дает лишь слагаемое ер Вл из (7.97). В этом смысле можно сказать, что выбор регуляризующего оператора А(Е) в формуле (7.94) является оптимальным.
ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
Литература по теории рассеяния очень обширна, и поэтому мы приведем лишь непосредственные источники нашей книги. Из многочисленных монографий по квантовой теории рассеяния наиболее близки нам книги следующих авторов: Р. Ньютона [1] и Э. Шмидта и X. Цигельмана [2], которые содержат изложение многочастичной теории рассеяния с точки зрения физиков; М. Рида и Б. Саймона [3] и В. Амрейна, Ю. Яуха и К. Синка [4], которые носят более математический характер. Математическая работа одного из авторов [5] особенно сильно повлияла на выбор материала и методов в данной книге, хотя изложение здесь значительно менее формально.
Глава I
Формулировка теории рассеяния в терминах волновых операторов была впервые введена С. Мёллером [6] (см. также К. О. Фридрихе [7]). Эти авторы рассматривали только простейшую задачу рассеяния с одним каналом. В начале 50-х гг. в физической литературе в связи с развитием квантовой теории поля появился це^ лый ряд работ по так называемой «формальной теории рассеяния», см., например, статью Б. А. Липпмана и Ю. Швингера [8], М. Гелл-мана и М. Голдбергера [9]. Многоканальный формализм теории рассеяния впервые разработан X. Екштейном [10]. Последнее развитие нестационарной теории рассеяния связано с именем В. Энс-са [И].
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed