Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
А(1)(Я) = 2яШ(1)(Я) + Ш),
где
В(1) (Е) - ^ ($Э Ш - (Й + 8? - I) ± Щ
Здесь через <Зар обозначен вклад ядра (^а^РтР^г) в 5-матрицу, определяемый формулой (7.86).
Отметим, что слагаемые А(1)1Е) четвертой степени взяты в виде Рар^ТаТ^ где оператор ТаТр, который
стоит на месте оператора фар из (7.92), уже явно выражен через парные 5-матрицы. При этом разность
3*Р^ЗаР~3*Р^ТаТрА которая имеет след, включена в первое слагаемое (7.99).
Ядро оператора А{1)(Е) на диагонали сингулярно, так что этот оператор следа не имеет. При этом различные слагаемые имеют особенности следующих типов. Ядра
слагаемых второй степени 1«^Тр обращаются в бесконечность, как (6(#))2. Все остальные слагаемые — как (х ± Ю)_16(ж). Взаимных же сокращений этих бесконечных членов, вообще говоря, не происходит. (Исключение составляет упомянутая выше модель, где переменные делятся и все операторы коммутируют между собой.)
Вернемся теперь к подготовительной формуле (7.82), где еще не выполнен предельный переход е 4 0. Обозначим через ДДи + Ы слагаемые 8р1К0(Т)]с, которые в пределе еЮ порождают величину Д(|)(2?) из (7.99). Эта величина имеет вид следа Г-полинома четвертой степени
Дх = 2 А<{) + 2 Д°\ (7.102)
1—2 1—2
где А(4) — след однородных Г-полиномов четвертой степени:
Д<4) = (2ге)з 2 зр ВХ<Йе1*оВХ (ТЛДТр), (7.103)
378
ГЛ. VII. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
д<з) и д(з> следЫ двух типов Г-полиномов третьей степени:
А(3) - - (2гг)2 2 *Р Ио^о* (Т^^ае +
д(3) - - (2*е)2 2 ярквв;(дйл0н;у0Та +
и А(2) и Д(2) — следы двух типов слагаемых второй степени:
Д(2)=-218 2 8рВ0К^аР,
А(2) = - (2*е)2 2 КоВ^ВоНХТр.
Если бы мы могли сделать формальный переход г \ О, то величина А^Е + ге) перешла бы в след оператора А(1)(?). Мы, однако, не мржем выполнить такой переход, поскольку в каждом слагаемом (7.102) имеются выражения, которые в подходящих переменпых принимают вид
82 8
/ 2 , 242 И /2, 24, ¦ . ч* (7.104)
\Х + 8 ) \Х* + 8 } (х ± 18)
При формальном предельном переходе они порождают указанные выше расходимости типа (6(я))2 и 8{х) (х± Ю)"1 оператора А(1)(?). С другой стороны, как мы отмечали, функция Д^^ + ^е) все же имеет конечный предел при е 10. Чтобы вычислить этот предел, необходимо избавиться от сингулярных членов (7.104). Мы сделаем это следующим образом.
К каждому слагаемому применим тождество
2Ых* + е2)"1 = (х - ге)-1 - (х + ге)-1
й рассмотрим по отдельности выражения, содержащие знаменатели (х + 1г)~1(х — Ы""1 и (ж ± ?е)~2. Выражения второго типа при е 10 содержат хорошо определенные обобщенные функции (х ± Ю)~2 и, очевидно, имеют конечные пределы. Все же не имеющие предела слагаемые принадлежат к первому типу. Используя циклическую перестановочность операторов под знаком следа и применяя подходящим образом тождество Гильберта, можно
§ 4. ГРУППОВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
379
убедиться, что все слагаемые, содержащие функции (х2 + г2)~\ взаимно уничтожаются при е=^0. Важно, что эти сокращения происходят как среди однородных Г-по-линомов одинаковой степени, так и среди Г-полиномов различных степеней. При этом понижение степени Г-по-линома производится с помощью трждества Гильберта. Подчеркнем, что такой механизм сокращений не работает в случае оператора Ас1>(?), когда уже выполнен предельный переход е 4 0. В этом случае мы не можем интегрировать ядра по диагонали — все они обращаются в бесконечность. Поэтому не удается циклически переставить эти операторы и расположить их так, чтобы применить тождество Гильберта. При 8 Ф 0, однако, такие операции законны.
В результате вычислений по указанной схеме мы получим представление для ДДЮ, в котором каждое слагаемое выдерживает предельный переход 8 I 0.
Это представление имеет следующий вид:
А, (Е) = Я!» + Д<23) + Д(» + Д(22). (7.105)
Здесь через А|3) (ь = 1, 2) обозначены следы однородных Г-полиномов третьей степени, определяемые равенствами
2т 2 8РТ^оКда)ВчЛ'е+))В+-
2Ш 2 зр ф0Т|Г) [Л+Уо (т<^+тр+)) -
-В_У0(Т^-П+>)],;
и через А|2) (? = 1,2)— следы одноро/щых Г-полиномов второй степени:
А(хг)= 2 8р[А+У0(Т^+Тр+))-К_?0(Т^-Тр+))],;
д<2) = 2 8р(в_т3->в_у0т^-к+тр-)к+у0т»-)).
В этих формулах через Т?° и И* обозначейы пределы операторов Та(Е±1в) и Я0(Е±1гУ при 8 = 0. Через ф0 обозначена операция умножения на б-функцию 6(р2~ Е):
Ы) (Р)=&(Р2-Е)1(Р).
380 ГЛ. VII. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Перейдем к обоснованию представления (7.105). Покажем сначала, как преобразуются однородные Г-поли-номы четвертой степени. Почленно продифференцируем последний множитель под знаком следа (7.93):
УоСвд^Тр) (едЗоВо'Тр + ^(таяХ)ъ) +
+ (л, (ВД^Тр) + ТаК0К: ^ Тр). (7.106)
Здесь, аналогично (7.78), через Вк(} обозначен оператор, задаваемый ядром ()(Р, Р\ г), продифференцированным по к-му энергетическому аргументу Р2 или Р'2, например:
Д2<?(Р,Р', г)^^{Р,Р', г).
Соответственно этому равенству разобьем А(4) на две группы слагаемых. В слагаемых, которые порождаются первым членом (7.106), можно применить тождество Гильберта для оператора Тр
2?еТрК0К*Т* = Тр — Тр,
расставив предварительно подходящим образом операторы под знаком следа. Эта группа слагаемых редуцируется тогда к следу однородного Г-полинома третьей степени
