Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
°+ (*> = 1Г8р (8* § - §» §) + Ж 8р^0(Щ, (7.92)
где оператор А0(Е) определяется соотношением
8р А0 (е) = 8р § - + А (е). (7.93)
Априори неочевидно, что оператор А0(Е) можно выразить через двухчастичные матрицы рассеяния. Однако это верно, и настоящее утверждение является основным результатом данного параграфа. Ниже, хотя и в несколько модифицированном виде, дано явное выражение д$я этого оператора.
Произведение о0 сингулярных операторов содержит и регулярные члены, имеющие след. Упомянутая
модификация состоит в том, что в операторе С(Ь
храняются лишь «истинно» сингулярные члены, а остальные, для которых имеет смысл взятие следа, объединяются с величиной ер А0 (Е). В конечном счете мы получим формулу следа
о+ (*) - 4г 8р -§)„ - а <*)) + 4г 8р х <*>. (7-94)
в которой операторы А (Е) и А (Е) явно выражены через двухчастичные матрицы рассеяния. Эта формула — главный результат данного параграфа. Она дает возможность
374 ГЛ. VII. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
2
гДе — интегральные операторы, задаваемые ядрами _ т-2Д2|*аРГ8 ^(^Д^рХрЩУ У?р) /7 «г/ ч
" Кр4)1/3 ^-^-й 5 ( • °'
где к'ар = ка (ра, рр), ?'ар = ^2р1 /сра = Лр(ра, Рр), ?Ра = = &р« и й? + р* = Агр2 + р'р2 = Е. Через к', Е) обозначено ядро оператора который связан с парной «^-матрицей соотношением
= I — 2ш
В этих обозначениях оператор А (Е) дается равенством
А(Е) = 2шВСЕ) + СШ, (7.96)
где
В
(Е) = ^ I Тар ^ 8а8р — (Э* + — I) ^ Тар],
(7.96')
с(?)-2(в:-1)&-
выразить третий групповой интеграл через матрицы рассеяния.
Прежде чем перейти к выводу этой формулы, мы опишем операторы А(Е) и А(2?). Начнем с оператора А(Е), регуляризующего след (7.94). При этом удобно использовать новый оператор Тар, который включает особенности ядра (?а°р (Р, Р\ 2), но, в отличие от Тар, содержит симметричную комбинацию аргументов ядер и Ц на энергетической поверхности. Именно, положим
§ 4. ГРУППОВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
375
Описание оператора А{Е) потребует новых обозначений. В. частности, он содержит специальный символ дифференцирования да. Это дифференцирование, определяемое своим действием на ядра, применяется к суммам произведений ядер ?а и комплексно сопряженных ядер и к интегралам от соответствующих произведений. На произведение операция да действует как дифференцирование, причем каждый сомножитель вида ta{ka, ка1 Еа) дифференцируется по Еа. На остальные множители, хотя бы зависящие от Еа, это дифференцирование действует как на постоянные. В применении к интегралам операция да считается действующей по тому же правилу на
подынтегральное выражение. Композицию да-~ следует понимать как
Через д обозначается сумма ^ оа,
<х
Пусть, далее, некоторый оператор <3 задается сингулярным ядром (?0ф, где (>о — гладкое ядро, а ф —- функция одного из двух видов:
В таком случае под [(}]Р понимается регуляризованный оператор, задаваемый ядром (V
В этих обозначениях имеет место формула
А (Я) - ± д [С], + ш Е - 4- д) Вд + шВд,
(7.97)
где через Вв и Йл обозначены операторы, которые представляют собой некоторую специальную регуляризацию оператора В(Е):
(7.98)
вв - 2 - [т«р]* д ± - (в: + в; -1) \д ± тЦ
(7.98')
376
ГЛ. VII. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Итак, мы описали все операторы в формуле следа (7.94). Наметим план вывода этой формулы. Сначала мы
отделим из оператора в0 в (7.90) регулярные слагаемые, имеющие след. В результате получим формулу
0+ (Е) = ± зр ((в* §\ - А(1) (Е)) + 1- А(1) (Е). (7.99)
При этом на первом шаге мы оставим в регуляризующем операторе А(1){Е) наряду с членами, которые выражаются через парные ^-матрицы, также и слагаемые, в которых участвуют ядра (2а$(Р, Р', Е), которые не сводятся к последним. На следующем этапе мы вычислим величину А{1)(Е), которая определяется согласно формуле
Д<» (е) - А (Я) - ар (8*0 § _ | й § - А<» (Я)).
(7.100)
Эта величина, как и А(1)(2?), требует для своего описания парных Г-матриц вне энергетической поверхности. Затем мы введем оператор А(Е), явно выраженный через парные 5-матрицы, и перейдем к формуле (7.94), где оператор АСЕ) определяется соотношением
эр А = ер ШЕ) - АпЧЕ)) + Д(1)(?). (7.101)
Наконец, мы покажем, что след зр (А{Е) — А{1)(Е)) с точностью до слагаемого — Д(,)(2?) выражается в терминах двухчастичных матриц рассеяния.
Действуя в рамках этой программы, мы будем приводить лишь примеры наиболее типичных преобразований. Вычисления, которые сводятся к повторению отработанных на таких примерах приемов, мы будем опускать.
Вычисление А(1)(#). Рассмотрим оператор в0 ^=г, ре-
гуляризующий след в формуле (7.90). Этот оператор равен линейной комбинации произведений парных Г-мат-риц Та и сопряженных к ним до четырехлинейных членов. Будем называть такие т-линейные произведения однородными Т-полиномами, а их линейные комбинации при 7тг ^ п — Т-полиномами п-й степени.
Введем в рассмотрение оператор А(1)(#), который со-
держит «истинно» сингулярные члены оператора Ь0 -т™.
§ 4. ГРУППОВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 377
В этот оператор входят все однородные Г-полиномы первой и второй степеней, а среди однородных Г-полиномов третьей и четвертой степеней нужно взять лишь те, в которых не встречается трех различных индексов аФ$Ф*(. Таким образом, А(1)СЕ) имеет вид суммы, аналогичной (7.96):
