Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Третий групповой интеграл дается формулой^
В3 = _Ц Sp (e-?H _ e-?He _ ^ (*-*н« - е-**о)
Он выражается через предельные значения функции Q(2) = ^sp Im[R(z)]c
на вещественной оси (Е) = lim Q (Е + гг) с по-
мощью формулы (7.63). При этом связная часть резольвенты имеет вид
[R (*)]с = R (z) - R0 (z) - 2 (R„ (z) - R0 (z)).
а
Интересно отметить, чтЧ), в отличие от оператора Im[R(z)]c, оператор Ш(я)]0 следа не имеет из-за медленного убывания ядра. Основная подготовительная формула (7.81) в этих обозначениях выглядит следующим образом:
2iQ (z) - sp (s*(z)4g- - 2 ? « (7-85)
где операторы S(z) и Ba(z) выражаются через Г-матрицы равенствами (7.80). Наконец, в подготовительной формуле (7.82) оператор [К0(Т)]С дается равенством
.[К0(Т)]с = к0(Т)-2к0(та),
а
где выражения К0(Т) и К0(Та )определены согласно (7.83) при N = 3.
Всюду далее мы считаем, что рассеяние является абсолютно упругим, т. е. что двухчастичные подсистемы не имеют связанных состояний. В этом случае матрица рас-
§ 4. ГРУППОВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 371
сеяния 8(Е) для системы трех тел представляет собой интегральный оператор, который действует в пространстве квадратично интегрируемых функций на единичной сфере в шестимерном пространстве /у2(5(5)). Этот оператор задается сингулярным ядром
=6(Р,Р') -ШЕ2Т{Е1/2Р,Е1/2Р\ Е + 10).
(7.86)
При этом энергия Е может принимать только неотрицательные значения, Е>0. Видно, что это ядро включает в себя все особенности ядра Г-матрицы Г(Р, Р', z). Аналогично, ядро матрицы рассеяния для оператора На (а = 1, 2, 3) выражается через ядро двухчастичпой Г-мат-рицы на энергетической поверхности равенством
?а[Р, Р',е) = ь(?, Р')- шЕЧ(ра - р'а) X
X Уе-р^Е-р^+ю). (7.86')
Удобно представить матрицы рассеяния 8(?) и Эа(?) в виде
Б (Я) =1-2лЙ,(?), ва(?) =1-2тТа{Е), (7.87)
где отделен единичный оператор. Выражения для ядер операторов Т{Е) и Та(Е) через Г-матрицы на энергетической поверхности получаются простым сопоставлением формул (7.86), (7.86') и (7.87).
Займемся теперь преобразованием подготовительной формулы (7.82). Упомянутые выше трудности предельного перехода Вх этой формуле связаны с тем, что ядра Л/ар, входящие в определение ядра Г(Р, Р\ z) (3.24), обладают трехчастичными сингулярностями (3.31). Если бы таких сингулярностей не существовало, то ядро оператора ^ Э* не имело бы особенностей па диагонали и мы могли бы использовать предельное соотношение
1еЯ0Д*^2я*6(Р2 - е), (7.88)
справедливое на гладких ограниченных функциях. В результате, как мы уже отмечали, получилась бы формула (7.84). Однако из-за особенностей ядер Ма$ пользоваться предельным соотношением" (7.88), вообще говоря, нельзя.
24*
372
ГЛ VII. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Результат формального предельного перехода лишен смысла и требует регуляризации.
Посмотрим более подробно, какие особенности имеются в правой части (7.82). Наиболее сильные трехча-стичйые особенности ядер М a? и, соответственно, ядра Г-матрицы Г(Р, Р\ z) обусловлены сингулярным вкладом ядер Та и Q%, т. е. ядер свободных членов, и первых итераций компактных уравнений (3.28). Отделим их, полагая
T(z) =To(z) + ВД,
где
т0(*) = 2т«+ 2'q$. (7-89)
а a,?
Через S0{E) обозначим сингулярную часть матрицы рассеяния, которая получается, если подставить в (7.86) ядро Т0(Р, Р\ z) вместо ядра Т(Р, Р\ z). Далее мы будем детально изучать вклад этой части в формулы следа. С другой стороны, особенности ядра оставшейся части Г-матрицы T(z), которые отвечают второй и третьей итерациям уравнений (3.28), являются слабыми, и они не отражаются на результате предельного перехода в формуле (7.82). В этом можно убедиться, используя явные формулы (3.40), (3.43) для таких особенностей. Таким образом, если предварительно отделить сингулярные члены (7.89), то в остальных слагаемых (7.82) можно осуществить непосредственный предельный " переход 8 \ 0. В результате мы придем к следующей формуле следа:
Qf (е) - ±- sp (S* | - S0* §) + 4- А (E}l (7.90)
где
А (Е) = lim sp (К0 (Т0) - 2 К0 (Т«) Y (7.91)
ejo \ а /
Эта формула, однако, не вполне удовлетворительна,
dS
так как, хотя S0 и А(Ю выраятются через характеристики рассеяния, эти характеристики не сводятся к матрицам рассеяния. Точнее говоря, они содеря^ат двухчастичные Г-матрицы до четырехлинейных членов. К числу недостатков этой формулы следует отнесли также то
обстоятельство, что в операторе &ojp кроме истинно
§ 4. ГРУППОВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
373
сингулярных членов содержатся и регулярные члены, которые имеют след.
Заметим, далее, что регуляризацию следа оператора
можно провести с помощью двухчастичных матриц рассеяния. Действительно, как мы показали в § 3 главы III, полюсные особенности ядра <?(оф(?\ Р', 2) на энергетической поверхности содержатся в ядре ГаР(Р, Р') (3.79). Поэтому вместо оператора Б0(Е) в (7.90) можно использовать явно выраженный через двухчастичные матрицы рассеяния оператор оо (Е). Последний определяется формулами (7.89) и (7.86), где следует взять ядро ГаР(Р, Р') вместо (Р, Р', г). Регуляризо-ванная таким образом формула будет иметь вид
