Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Эту формулу можно получить также из S0 в (7.215), положив p0 = р, Q0 = 0.
В качестве второго примера рассмотрим термически разновесное электромагнитное излучение внутри закрытой полости со стенками определенной температуры. Эту систему можно считать идеальной жидкостью с некоторым своеобразным уравнением состояния. В системе покоя стенок поток электромагнитного излучения равен нулю в каждой точке, и в соответствии с законом Стефана — Больцмана плотность энергии Л° определяется формулой
h? — aToi = ai'Q0*, (7.224)
где а = 7,6237 • 10~15 эрг! (CMi • 0K4) = 7,6237 • Kris сhie f (ms * °К4) — постоянная Стефана — Больцмана. Излучение обусловливает нормальное давление
р° = aT0iIo = a IoOdi = H013, (7.225)
которое не за з чей V от объема V0 полос гм. Следовательно,
H0 = Ii0 V0 ^ j]"-IQ0i. (7.226)
175
Интегрируя уравнение (7.123), в данном случае получаем
So = AaV0ISQ031 (7.227)
где постоянная интегрирования выбрана так, чтобы 5° = 0 при 0° = оо .
В системе S, относительно которой полость движется со скоростью и, импульс и энергия в соответствии с (6.149), (7.225) и (7.226) имеют вид
4 aV'o/e4 4 Я°/с2
‘ U=---------------- U
з _L 3 J-
Зс2 (1 —ы2/с3) “ (1 — ы2/с2)2
я (VO/е*) { 1 + 4- к2/с3) 1+4- «2/с2
H =----------------------------------- = #° J
(7.228)
J_ J-
([-U2Zc'1)' (1—и2/с2) 2
Таким образом, соотношения между G, Н, H0 и и такие же, как и для сферически симметричной электростатической системы [см. (7.23)].
Спектральное распределение излучения черного тела описывается формулой Планка, в соответствии с которой в системе покоя плотность энергии, приходящаяся на интервал частот между V0 и v0 + dv°, равна
hyo dv° = (8u/cs) йл;03 dv°/{exp (6° hv°/k)— I}, (7.229)
где h и k — постоянные Планка и Больцмана. Теперь излучение черного тела можно рассматривать как фотонный газ, т. е. как совокупность частиц с нулевой массой покоя, скоростью с и 4-импульсом
Pi = hoi = (hvt/c, іhv/c). (7.230)
Здесь ог- — волновой вектор (4.43) плоской монохроматической волны частоты v. Следовательно, импульс р и энергия E фотонов определяются формулами
р = 1г\е/с; E = cp = h\\ (7.231)
В системе покоя S0, где излучение обладает сферической симметрией, количество фотонов на единицу объема с частотами в интервале (vu, V0 -j- d\u) и направлением е° внутри телесного угла da>u равно
р« = лdy0 da0 = h°, dv° dco°/4jtftv° = 2v°~dv° rf(0°/c3 {exp (0° hv°/k)— I}, (7.232)
где p0 — искомая плотность фотонов. Плотность тока этих фотонов есть р°се°, а интенсив-
ность излучения
/®о dv° d(o°=cp° Ziv0 = chv° nv° dvn dw°. (7.233)
Из (7.232), (7.233) для удельной интенсивности получим
У"» = Ch0 = (2/iv°3/c3)/{exp (6° hv°Jk) — 1}. (7.2341.
В системе S, относительно которой черное тело движется CO скоростью и, плотность фотонов
P-Hv (е) dvda (7.235)
равна четвертой компоненте 4-вектора Si, глотности 4-тока, пропорционального р,-[см. (4.214), (5.3)]:
Si = (рее/с, ]p) = pcpi/hv. (7.236)
Поскольку Si н pi — 4-векторы, коэффициент пропорциональности должен быть инвариантом, т. е.
p/v = p°/v° (7.237)
и пи с учетом (7.235), (7.232)
nv (е) dv a to' = п dv° dco0 (v/v°), (7,238).
176
где (dv, rfo), е) — величины в S, соответствующие величинам (dv°, dcol\ eu) в S0. Соотношение между dvda и dv°do)a получается из формулы (е) стр. 101, в соответствии с которой
pdpdco= р° dp° doi0 (7.239)
является инвариантом для любой частицы с нулевой массой покоя. Используя (7.238), формулу (7.239) можно представить также в виде
dv° d<o° =rfv da (v/v°), (7.240)
что с учетом (7.238) приводит к соотношению
—«“о V2/Vjj. (7.241)
Удельная интенсивность Zv излучения определяется в S выражением, аналогичным первому выражению (7.234):
Zv = Cftvnv = Iyo v3/v°3. (7.242)
Поскольку в соответствии с (7.185) и (7.230)
0,- Pi = 0° рЧ = ІС0» /?2 = — 9° Avfl, (7.243)
из (7.242) и (7.234) получим следующее выражение для удельной интенсивности Iv, как функции параметров состояния 9j, 4-нмпульса и частоты фотонов:
/V(e) = (2ftv3/c'2)/{exp ( —QiPilk)- 1}. (7.244)
Вследствие (7.1S3) и (7.230) скалярное произведение — 0-р\ имеет вид
-OiPi^hv0, (7.245)
где
9 = б0 (1 — и - е/с)/(1 — ««/с2)112, (7.246)
так что (7.244) принимает форму
Zv = (2Av3/c2)/{exp (0/iv/fe)—1>- (7.247)
Таким образом, распределение интенсивности излучения движущегося черного тела имеет тот же вид, что и для покоящегося черного тела; только в данном случае вместо 6° используется «эффективный холод» 9, определяемый формулой (7,246).
9 может быть больше нлн меньше 0°, в зависимости от направления движения относительно наблюдателя.
Упражнение
Плотность импульса g и энергии А фотонного газа определяются, очевидно, выражениями
g = lf (ftvZc) enV (e)dvd<o = (l/c2)j j Zv (е) е dv dm-, I
ft = JT Avnv (е) <fv dco= (1 /с-2) JJ Iv (е) dv dw. j ^
Показать, что формулы для g и А, получаемые из (а) и (7.244) интегрированием, соответствуют выражениям (7.228) для GhH.
