Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
dW (Bi, р) = —Ei + B0 V0 dp, (7.197)
т. е.
Ei=-OWIdQi-, V0 = (IIB0)DWIdp. (7.198)
Таким образом, если релятивистский термодинамический потенциал Hf (0г р) задан как функция параметров состояния (7.188), то энтальпию Ei и объем покоя V0 можно получить из lIr (Qh р) частным дифференцированием по параметрам состояния. Для энтропии из (7.189), (7.198) получим
S=-W^QiDWidBi. (7.199)
Поскольку Y, по определению (7.189), —инвариант, он может зависеть лишь от инвариантной комбинации тензорных величин (7.188). Единственной инвариантной комбинацией из Oi- является норма этого времени подобного вектора:
9 = Є(Є;) = (-Мі)1/2/с. (7.200)
В результате
V(0|. Р) = ЇФ> Р). (7.201)
где f — форм-инвариантная функция от 0 и р.
Из (7.183) следует, что значение инварианта 0 равно «холоду», т» е.
0° = 0. (7.202)
Таким образом, 0 (0г) просто инвариантный холод, выраженный через 0г, а 4-скорость имеет вид
Ui = BiZQ. (7.203)
В системе покоя инвариант 1F в (7.189)~сводится к
= -Q0i E0i- S0 = Q0E0-S0 =^Q0 G0, (7.204)
где
G0 = E0-T0S0 = H0A-P0V0-T0S0 (7.205)
— свободная энергия Гиббса (включающая в себя и энергию покоя массы P0V0 тела). Здесь мы использовали (7.185) и (6.151). Величина
W0 (0°, р°) = f (0°, р°) = 0° G0 (0°, р0) (7.206)
является функцией параметров состояния 0°, р0 в системе покоя, которые
в принципе могут быть определены посредством обычных лабораторных экспериментов с покоящимся телом. Тогда потенциал ? (0г, р) в системе S полу-
173
чается из (7.201) заменой аргументов 0°, р° в "vF0 (6°, p0) = f (0°, р°) их выражениями 9, р через параметры состояния (7.188) в S:
Y(0|fp) = 4r»(0, р). (7-207)
В системе покоя, где 0? = і с 0° б,-4, три уравнения в (7.198) выражают
тот факт, что Efr = 0 при г — |Х. Два оставшихся уравнения имеют вид
E0 = (cti) E0i = дфо/дО0 = д {0о G0 (0», р»»/А0»; j ж.
V0 = (1 /0°) BWVdp0 = OG0 (6°, р°)/др°, J ' '
т. е. совпадают с известными формулами классической термодинамики.
Упражнение
Инвариантный потенциал 1F является релятивистским обобщением свободной энер* гии Гиббса. Заменив его свободной энергией Гельмгольца в системе покоя
F°(Q°, У«)=Я° — T0S0 (s}
или соответствующим отрицательным «потенциалом Планка»,
Ф° (0°, V’0) — 0° F0, (Г):
можно, как н в (7.207), определить инвариантный термодинамический потенциал
ф_(0г V-O) =фо (0, l/о), (В\
Ф также можно рассматривать как функцию от Oj и объема V з системе S, который с учетом (7.203) равен
V = V0 (I-H2Zci)1 Гг = іCVVUi = id-'0/O4. (г)
Следовательно,
Ф (0;, Vi =¦-- Фл (0, VQJicQ). (л)
Показать, что частное дифференцирование Ф (Oil V) по аргументам 0<, V дает 4-импульс п давление в форме [187J:
Gi — — 6Ф (0,-, V)jо0:, P= — (Іс/Є4) сФ (0j, V)/dV. (е>
Релятивистские потенциалы 1F и Ф связаны, очевидно, соотношением
5Ф=Ф4-0/7У«. (ж I
Показать, исходя из этого соотношения, что выражение (7.198) и (е) для Ei н Gi согласуются с (7.190).
§ 7.13. Идеальный газ. Излучение черного тела
В качестве простого применения развитого в предыдущем параграфе формализма рассмотрим случай идеального одноатомного газа, состоящего из N невзаимодействующих частиц с собственными массами т0. Для умеренных температур, когда
кТ°/т0 с2 = kjma с- Gn С I (7.200}
(k — постоянная Больцмана), в системе покоя имеем обычное уравнение состояния
ро V0 = NkTn = NkJQ0. (7.2 і 0)
Кроме того, энергия, включающая в себя и энергию покоя собственной массы
P0170 = Nm0, (7.211)
равна
H0 = Nm0 с2 + 3Mfe/26°. (7.212),
174
Из первого и второго законов для обратимых процессов имеем
dS0 = — 0° dQZa р - 0° (dH0 + p0 dV0). (7.213)
Дифференцируя (7,210), (7.212) и исключая F0, получаем
dS0 = -Nkd In (р°0°5/2), (7.214)
откуда
Se=-МЫП(рО0о5/2) + С, (7.215)
где С — постоянная интегрирования.
Энтальпия ?и и потенциал 4F0 (7.204) в системе покоя имеют вид
E0 = H0 + р° 1/° = Nm0 с2 + (5/2) NkIQ0; (7.216)
?°(0°, p°) = Q°E°—S0 = ZVm0 с2 0° + /Шп(ро0°5/2) +(5/2)/V? —С. (7.217)
В соответствии с (7.207) потенциал 1F как функция параметров состояния в произвольной системе S равен
ЧГ(0{, р) = Nm0 с2 0 + Nk In (р05/2) + (5/2) Nk-C. (7.218)
Подставив это выражение в (7.198), найдем 4-вектор энтальпии и объем покоя как функции от (0г, р):
Ei (0,., р) = —dV/dQi = [Nm0C2 + (5/2) Nk/Qj Of/0c2; (7.219)
V0 (0г, p) = (HQ) (Wfdp) = NkfpQ. (7.220)
Здесь мы использовали соотношение
BQldQt=-QiIQc2=-UiIci, (7.221)
вытекающее из (7.200) и (7.203). Поскольку Qup — инварианты, (7.220) представляет собой просто другую форму уравнения состояния (7.210).
С учетом (7.210) и (7.221) выражение (7.219) для Ei можно представить также в виде
Ei = E0UiIc2, (7.222)
что соответствует определению (6.151) 4-вектора энтальпии.
4-Импульс Gi (6;, р) легко получается из соотношений (7.190), (7.219), (7.221) и (г) на стр. 171. С учетом инвариантности энтропии из формул (7.199), (7.200) и (7.221) имеем
S = —Nk In (рЭ5/2) — С. (7.223)
