Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим сначала случай, когда оси в S и S' подвергнуты одному и тому же вращению. Векторы х, х\ v, v' также подвергнутся одинаковому (но противоположному) вращению, и, следовательно, соотношения (2.25), (2.25') и
(2.26) между ними не изменятся. Мы говорим в этом случае о преобразованиях Лоренца без вращения, поскольку взаимная ориентация декартовых осей в S и S' не меняется (см., однако, рассуждения в § 2.5).
Если обозначить vx, vy, Vz компоненты вектора скорости движения системы S' относительно S, то векторные уравнения (2.25) суть не что иное как краткая форма записи следующих четырех уравнений:
(2.27)
X1 = { 1+ (1V — I) Vl/V2} X + (Y— I) Us Vy У/Vi-1T (у— I) Vx Vz ZlV2-Vx у/;
У' = (V—J) vu vx x/v2 +{1+ (у— I) vpv*} у 4- (у — I) Vu Vz ZlV2-Vtj у/;
2' = (у — I) V2 Vx Xlv2 4 (у — I) Vz Vj у IV2 4- {14- (у— I) Vl Iv2} 2—Vt yi;
t' = —yvx Xlс2 —yv,j ylc2—yvtzlc2 4 у/,
представляющих собой общие преобразования Лоренца без вращений. Обратные преобразования, как и раньше, получаются заменой (х, у, z, t) на (х,у\ z, t') и vx, Vy, Vz на— vx, — vy, — Vz соответственно.
Рассматривая случай, когда декартовы оси систем S и S' имеют различную ориентацию, необходимо иметь в виду, что эти оси должны быть уже подвергнуты различным вращениям для приведения их к одинаковой ориентации, соответствующей рис. 8. Тогда последнее уравнение в (2.25) остается без изменения, а первое нужно заменить на
Sx' = х4- V {(у— I) (xv)lv2—yi?}, (2.28а)
где © — оператор вращения, который переводит вектор х' в вектор Фх', соответствующий преобразованиям Лоренца без вращения.
36
Таким образом, оператор ?>_1 приводит декартовы оси системы S' к одинаковой ориентации с осями системы S. Вместо уравнения (2.26) имеем
Sv' - —V, (2.29)
т. е. компоненты (Vxt Vyt v’z) скорости CHCTeMbiS относительно S' уже не равны (—vx, —v,n —vz). Умножая (2.28а) на оператор ©~1 и используя (2.29), общие преобразования Лоренца запишем в виде:
х' = S-1 х — v' {(у— I) (xv)/v2—7/};
t’^y{t—(v\)/c2}.
S можно интерпретировать также и как оператор, приводящий оси в S к одинаковой ориентации с осями в S'. Поэтому преобразования, обратные (2.28), имеют вид
X = Sx'-V {(у —і)(хЧ,)/у2—v/'}; ]
і = У {і' — (v' x')/c2}; [ (2.28')
v' = Iv' I = I v I = v і
и проверяются непосредственно при их подстановке в правую часть (2.286).
Легко видеть, что уравнения (2.25) и (2.28) удовлетворяют уравнению (2.15), которое, в свою очередь, можно записать в векторном виде
(хх) — сЧ2 = {х'х') — сЧ'\ (2.30)
Полагая в (2.25) с — оо , приходим к общим преобразованиям Галилея (1Л>-
До сих пор мы предполагали, что начальные точки О и О в момент времени t = t' -= 0 совпадали, и поэтому преобразования Лоренца были одно-
родными преобразованиями пространственно-временных координат. Теперь откажемся от этого предположения и учтем смещение начала пространственных и временных координат в S'. Для этого в (2.24), (2.25) и (2.28) следует заменить (х, у', z', t ) на (х’ —х'0, у' —у о, z' —zq, t' — to) соответственно, где х'о, у о, z6, i[) — постоянные. При неоднородных преобразованиях Лоренца подобного типа величина S2 уже не будет инвариантной. Однако для двух событий с координатами (JC1, уъ Z1, tt) и (х2, У%, z2, t<i) соответственно выражения
Ax — Xj Хо, А У — У J у 2,
не содержат постоянных Ха, у о, Z о, Iq и преобразуются согласно уравнениям (2.25). Поэтому величина
As- - А*2 + Ay- + Az2 — C2A/2 (2.31)
будет инвариантной при произвольных неоднородных преобразованиях Лоренца.
В соответствии с принципом относительности все физические процессы, во всех инерциальных системах протекают одинаковым образом, а это требует, чтобы все фундаментальные уравнения физики во всех инерциальных системах имели одинаковую форму. Иными словами, фундаментальные уравнения должны быть форм-ипварнантными, т. е. ковариантными при преобразованиях Лоренца. Это требование, являющееся формальным выражением принципа относительности, оказывается очень полезным при разработке новых теорий.
Мы увидим далее, что оно автоматически выполняется для уравнений Максвелла в вакууме. С другой стороны, основные уравнения механики Ньютона не удовлетворяют этому требованию, так как они являются кова-. риантными, как показано в § LI, относительно преобразований Галилея. Поэтому механика Ньютона справедлива лишь приблизительно, когда преобразования Лоренца и Галилея можно считать идентичными, т. е. при скоростях, малых по сравнению со скоростью света. Поэтому для скоростей, сравнимых
(2.286)
37
со скоростью света, уравнения механики Ньютона следует заменить уравнениями релятивистской механики Эйнштейна, являющимися ковариантными при преобразованиях Лоренца (см. гл. 3).
§ 2.5.Сокращение размеров движущихся тел
С помощью преобразований Лоренца можно произвести сравнительное описание свойств измерительных линеек и часов в инерциальных системах 5 и S’,
Рассмотрим измерительный стержень, покоящийся в системе S' и расположенный вдоль оси х' (см. рис. 8). Концы его имеют координаты х{ и Х2, так что длина стержня в системе S' (собственная длина) определяется формулой
