Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
s'2-S2, (2.15)
т. е. величина S2, определяемая по формулам (2.13), инвариантна. Используя (2.10), (2.11) и (2.15), получаем
Л-а — сгр = х'* — C2 Г'2, (2.16)
причем хг и Ґ — линейные функции от ж и t. Поэтому можно записать
х' = ах
(2.17)
V = ух -sT Stt
где постоянные а, [5, у, б определяются так, чтобы условие (2.16) удовлетворялось при всех X и І.
Для точки 0' имеем х' — 0. Поэтому из первого уравнения (2.17) найдем закон движения О' относительно S:
X= — (5//а,
а поскольку скорость этой точки относительно S равна v, то
P= — av. (2.18)
Начальная точка О имеет координату х = 0. Тогда из уравнений (2.17) после исключения t получим формулу
х' = р/'/б,
описывающую движение точки О относительно S'. Из соображений симметрии следует, что скорость точки О относительно S' равняется — V, что с учетом
(2.18) дает
P= — 6у = —av, т. е. б = а. (2.19)
С помощью (2.18) и (2.19) уравнения (2.17) можно переписать в виде:
х' = а(х —vt)\ Ґ = ух-\-аі. (2.20)
Подставив их в (2.16), получим X2—с212 = (а2—у2 с2) X2 — а2 (I — V2Ic2) с212—2а (ус2 -j- av) Xi. (2.21)
34
Поскольку уравнение (2.21) выполняется при всех значеннях х и t, то коэффициенты при х2, I2 и xt в обеих частях этого уравнения соответственно равны. Это дает три уравнения для определения двух величин а и у.
Из последних двух сразу получаем
a = (I — V2Ic2)-1?2 (2.22)
и
у=—av/cг——(Vlcz)Iyr I—V2Ic2. (2.23)
Оставшееся уравнение, выражающее равенство коэффициентов при х2 в обеих частях (2.21), выполняется тождественно и показывает, что уравнение (2.19), т. е. предположение, что точка О движется относительно Sr со скоростью
— V, согласуется с уравнением (2.16).
Из (2.10), (2.11), (2.20), (2.22) и (2.23) окончательно получим закон преобразования для пространственно-временных координат произвольного события:
х' = (х—vt)l — V2Icz] у' = у, zr = z\
Ґ — (f — vx/с2) /\ґ 1 — V2Ie2.
Обратные преобразования имеют вид
х = (х'-\- vt')/Y\ — V2Ic2; у = у'\ Z = Zr; t = (t’ + VXrJc2) /У 1 —V2Ie2.
Эти преобразования можно получить из (2.24) переобозначением штрихованных и нештрихованных переменных и заменой а на — v. Величина и, определяемая из (2.18), представляет собой скорость точки Or относительно 5. Из (2.24) следует, однако, что и любая точка P' в системе Sr с фиксированными координатами хг, у', z движется относительно 5 в направлении оси х с. той же скоростью. Аналогично из (2.24') следует, что любая точка P в системе S движется со скоростью — V относительно S в направлении оси хг. Поэтому v представляет собой просто относительную скорость двух инерциальных систем.
Впервые преобразования (2.24) и (2.24') вывел Лоренц, они получилп (по предложению Пуанкаре [198]. — Прим. ред.) название преобразований Лоренца. Однако вывод этих преобразований из принципа относительности принадлежит Эйнштейну [75]. Ввиду специального выбора декартовых осей (см. рис. 8) мы говорим о специальных преобразованиях Лоренца. При таких преобразованиях величина s2, определяемая из (2.13), инвариантна. Устремляя с к оо, получаем преобразования Галилея (1.2). (Лоренцевы вращения вместе со сдвигами Вигнер назвал преобразованиями Пуанкаре. —Прим. ред.)
§ 2.4. Общие преобразования Лоренца
Преобразования пространственно-временных координат в самом общем случае, когда относительная скорость S' и S не параллельна оси х, а прямоугольные координаты в S' и S ориентированы по отношению друг к другу произвольным образом, можно получить, комбинируя пространственные вращения осей в 5 и S' со специальными преобразованиями Лоренца (2.24). Поскольку при пространственных вращениях S2 не меняется, то величина S3 инвариантна и при самых общих преобразованиях Лоренца.
Для вывода этих преобразований в явном виде удобно воспользоваться векторным аппаратом. Рассмотрим снова специальные преобразования Лоренца (2.24), соответствующие рис. 8. Здесь пространственные координаты события (х, у, z) и (х', у', zr) в системах ShS' можно рассматривать как ком-
(2.24')
(2.24)
35
тоненты векторов X и х' некоторого абстрактного линейного векторного пространства, т. е.
х = (х, у, z); х' = (х', у', z').
Аналогично скорость v системы S' относительно системы S можно представить вектором этого же пространства с компонентами (v, 0, 0), т. е. v = (ti, 0, 0). Используя эти векторные обозначения, специальные преобразования Лоренца (2.24) можно привести к виду
х' = X +V
(2.25)
t' = (I —V2Ici)-1?2 {t — (vx)/c2},
где (vx) = VxX + Vtjy + VzZ — скалярное произведение векторов VHX.
Вектор Vу = (¦— V, 0, 0) представляет собой скорость системы S относительно S', поэтому обратные преобразования Лоренца (2.24') можно записать в форме
x = x' + v' [(x'v'/d2){(1—у7с2)“1/2— l} — t'(l—zr/c2)~l?2y, І /2 25') t = (\—v2/c2)-'?2 {t' — (v' х')!с2}. J
Поскольку
v' = - v, (2.26)
обратные преобразования (2.25') можно получить из (2.26) переобозначением (х'(') и (xt) и заменой v на—v.
Предполагается, что оси пространства векторов х, х'( v, v' фиксированы, поэтому вращение декартовых осей системы S вызывает противоположное вращение векторов х и v. Аналогичное вращение декартовых осей системы S' индуцирует противоположное вращение векторов х' и v'.
