Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
h(a)iMT* = Sik*
В этих статьях было показано, что возможно так определить суперпотенциал Uki1 = — через и их первые производные h^ k, чтобы он являлся тензорно» плотностью, а соответствующий комплекс энергии — импульса Т* = и интегралы. Pi = (1/с) J Tjdx1AA/** удовлетворяли бы всем необходимым физическим требованиям.
Далее, было показано, что Pt в асимптотически лоренцевых системах координат типа рассмотренных в (11.158), (11.159) и (11.212) — (11.214) равны Pit вытекающим из эйнштейновских выражений (11.183) и (11.183'). После того как общековариантиые выражения Pi получены с помощью тетрадного формализма, можно забыть о тетрадах вовсе и перейти к вычислению Pi в системах координат, в которых справедливы комплексы (11.183), (11.266) и (11.272), зависящие только от метрики. Таким путем можно прийти к компонентам 4-импульса изолированной системы, используя закон преобразования 4-вектора.
§ 11.13. Угловой момент изолированных систем
Полный угловой момент материальной системы плюс ее гравитационное
поле удобнее всего описывать комплексом (11.269), имея в виду свойства сим-
метрии Qik. Из (11.271) и (11.274) следует, что величина
Mikl=X1Qu-XkQlt (11.290)
удовлетворяет закону сохранения
Mmt= 0. (11.291)
Вводя (11.269) в (11.290), получаем
Mikl - Xі т —Xk ^т ¦= (Xі (Pftlm-Xk(Pilm)t т — + фШ.
Далее, из (11.270), используя (11.181), находим ср//*_фш = (IJ2X) ^unlk-Qkmli)' т = (1/2х) (gШк +Qtklm-)' т = (!/2>с)
342
І Ітак, Miut имеет вид обычной дивергенции суперпотенциала, т. е.
MM = K11T, (11.292)
где
Kiklm = Xі (P^m-Xk ц,ІІт + (1/2?) %iklm, (11.293)
Супер потенциал (11.293) обладает свойствами симметрии
KikUn = _ ^ikml = _ KtHlm = ftkiml, (11.294 )
откуда видно, что закон сохранения (11.291) тождественно следует из (11.292).
По аналогии с (11.160) определим теперь интегралы на бесконечной пространственноподобной гиперповерхности
S;A(2)=-------[MiklClSlt (11.295)
с I X
где dSt удовлетворяет условиям (11.161). Если 2 —’поверхность t = const, то по аналогии с (11.165), (11.166), (11.183) и (11.183') имеем
(Z) = Mi*, (11.296)
где
Mik = (l/с) J (Xі Bki—хк Gn) dx' dx2 dx*, (31.297)
или, если учесть (11.292) и (11.294),
Mik = (1/с) jj Miki dx1 dx2 dx3 = (1/с) ^ К1Ц% dx1 dx2 dx3 =
= Iim (lfc)\KikAk dh = Um(Ifc)nKR4®. (11.298)
R-юс, у R+x, j
Если ?2 обозначает снова область 4-пространства, ограниченную двумя пространственноподобными гиперповерхностями S1H S2 и гиперцилиндром С с радиусом R-+- оо, то, интегрируя (11.291) по ?2, получаем по аналогии с (11.162)
(Z2) -3« (H11) + Iim — Г Mikl dSt = 0. (11.299)
R -+оо С J С
В послгднем интеграле dSt определяется в (11.195). Следовательно,
Xlk= Iim (1 /с)С = Iim С Alrtfc df>, dt = Iim С пк R2 dxadt. (11.300;
R^t-oa J R-*- Oo^ R-*co J
Рассмотрим снова изолированную материальную систему в асимптотически лоренцевой системе координат типа (11.158), (11.159). Если метрика на пространственной бесконечности такова, что предел интеграла (11.300) равен нулю, т. е.
Xik = Of (11.301)
то из (11.299) по аналогии с (11.163) получим
З'*(2ц) = 3“(2а). (11.302)
По тем же соображениям, что приведены на стр. 327, из (11.302) следует, что величина (11.297) удовлетворяет свойствам, аналогичным 1—3 (стр. 327),
а именно свойству 4: Mih не зависит от времени. Эта величина преобразуется как свободный контравариантный 4-тензор относительно лоренцевых преобразований и инвариантна относительно преобразований (11.171), не меняющих метрику на пространственной бесконечности.
343
Эти свойства и сама форма интеграла (11.297) показывают, что Mik является 4-тензором полного момента материи и гравитационного поля. Учитывая (11.269), Mik можно разбить на две части
которые можно было бы интерпретировать как описывающие материю и гравитационное поле соответственно. К сожалению, такая интерпретация не имеет ясного физического смысла, поскольку оба интеграла в (11.303) сильно зависят от выбора координат внутри системы. Только сумма Mik удовлетворяет всем свойствам 4 при условии выполнения (11.301), что следует проверять каждый раз. Это обстоятельство — еще одна иллюстрация тесной связи материи и гравитационного поля в теории Эйнштейна.
В качестве примера рассмотрим решение уравнений поля, лайденное Керром [125, І26], которое описывает метрику пространства — времени вне вращающейся массы. В определенной асимптотически лоренцевой системе координат
где а и а — постоянные интегрирования, а р связано с г = (х2 + у2 + z2)I/,a алгебраическим уравнением
Форма dO и ds2 говорит о том, что метрика Керра обладает аксиальной симметрией, но не обладает симметрией отражения.
Непосредственное вычисление Ifik в этой метрике показывает, что уравнения поля (11.201) удовлетворяются, однако решение до сих пор еще не продолжено внутрь материи, порождающей это поле. Полагая, что такое продолжение возможно, т. е., что решение Керра описывает метрику вне реальной системы, вычислим 4-импульс P1 и угловой 4-момент Mlk источника метрики Керра по уравнениям (11.272), (11.266) и (11.298). Для этого нам необходимо знать только асимптотическую форму метрики (11.305).
