Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
В ЭТОМ МОЖНО убедиться, например, ВЫЧИСЛЯЯ P1L.L в системе с метрикой (11.184) [суперпотенциал <рш здесь асимптотически тождествен \[ikl из (11.267)]. Более того, Bik имеет в этом случае преимущество в симметрии по і и k, т. е. мы имеем, учитывая (11.269), (11.270) и (11.181),
Є* = (1/2?) Qit1, і = (1/2х) Q^ml = 6«. (11.274)
Остановимся теперь на трех различных интегральных выражениях (11.183), (11.266) и (11.272) — (11.273) для полного 4-импульса изолированной системы. Они различаются только распределением энергии и импульса по пространству— времени, которое, вообще говоря, не поддается даже точному определению. Однако, если рассматривать только распределение энергии, глобально покоящаяся система уже является некоторым исключением. Как показано в приложении 6 [уравнение (27)], супер потенциал можно записать в виде
гДе _____ = (11.275)
g)/x){gin,m — gim, n)gkmgln\ I (11.276)
:kl
Б глобально покоящейся системе типа (11.184) получаем следующее асимптотическое выражение для из (11.185):
||* = (а/хг*)(1— 64г)(б?пг-6іп*) + 03. (11.277)
т. е.
I? = O3.
вычислении Pi можно заменить Т? комплексом
е. величины
Следовательно, не дает какого-либо вклада в Pi системы, поэтому при
компле
т ki=lti, (11.278)
Pi = (Uc) f = Iim — [xt%n},df (11.279)
J С J
f
равны Pi
Pi = Pi (11.280)
в любой глобальной системе координат с асимптотической метрикой (11.184).
Комплекс Tf., определенный в (11.278) и (11.276), обладает тем замечательным свойством, что Т* преобразуется как векторная плотность при ка-
либровочных преобразованиях
x» = x»(xk); ) (11.281)
t'=t +I(Xv), J
которые не меняют темпа хода координатных часов.
С помощью (11.281), где Dx1Idxti = Sli, величина ап ^ginHt преобразуется как 4-вектор, а из (9.194) и (9.200) видно, что есть плотность дивергенции от ротора этого вектора:
П.-Vl —g) div* {rot{a}}. (11.282)
340
Следовательно,
dH == — ТІ dx1dx2 dx3 = hy'^ dx1 dx2,dx3 = hdV (11.283)
есть инвариант относительно произвольных чисто пространственных преобразований, и dH можно интерпретировать как энергию, содержащуюся в бесконечно малом объеме dV. Это утверждение справедливо в любой системе, связанной с исходной (11.171), а полная энергия
H = H=—^\\.dxLdx2dx3 (11.284)
может быть вычислена даже в такой системе координат, которая не является асимптотически прямолинейной, например в полярной системе.
Комплекс Ti, можно записать и в другой форме, особенно удобной для стационарных систем. Из (11.275), (11.276) и (11.278) получаем
Т/. = 2Ti. — T + ijvf /,
где
T = Ti = Y(1T) T11+ Iii = VT=S) T-Qlx.
Здесь мы использовали (11,153), (11.154) и (11.147). Следовательно,
T?. = VlFij (27І- Sf Г) +(1/к) {dVldglmk)g[mi + Yrki- (11.285)
Когда материальная система стационарна (например, в случае осесимметричного тела, вращающегося относительно оси симметрии), можно пользоваться стационарной системой координат, в которой все gik не зависят от времени. В этом случае плотность энергии
ft= — HJyt'• ' (11.286)
в соответствии с (11.285) имеет следующий вид:
h = = (1 + 2Х/су I* (7* - Т\). (11.287)
Эта плотность энергии равна нулю вне материи, и полная энергия (11.284)
выражается интегралом, взятым только по пространству, занятому материей.
Для покоящейся несжимаемой жидкости, рассмотренной в § 11.7, из (11.96), (11.107) и (11.108) получим
Tl = Zp-, Tt = -V0C2-, (1+2^)^=^-5(1-,-W)1'2; I (1L2g8)
-у1/* = г2 sin G/(l—r2/^2),/2; dV = rasinBdrdQdtp 1(1—г2/i?2)1/2. J
Используя (11.111), (11.106) и (11.287), имеем
JA= {A—B(\—r2IR2yi*) (Зр/с2+ [a0) = (I0(1—г2/#2)1/2, (1 1.289)
а интегрируя по пространству, занятому материей из (11.112), находим полную гравитационную массу М, равную
Гі <,
jj IidV = 4я ^ (А° г2 dr = 4яг і [а°/3 = М,
о
откуда следует, что можно интерпретировать как плотность гравитационной массы. В соответствии с (11.289) |а уменьшается с ростом г, в отличие от собственной массы |х°, которая в случае несжимаемой жидкости остается постоянной. Поскольку (я и h инвариантны относительно чисто пространственных преобразований, мы нашли бы для них те же самые значения, пожелай мы вос-
341
пользоваться изотропной системой (11.119), гармонической системой или любой другой системой пространственных координат.
Учитывая эти удовлетворительные свойства комплекса Tf и суперпотенциала Xi1, хотелось бы вообще, заменить Tfi на Т*. и считать последний истинным комплексом энергии -— импульса [171, 172, 1851. Ho это было бы не верно. Дело в том, что Т* изолированного тела в асимптотически лоренцевой системе (11.158), (11.159) является асимптотически порядка O3 вместо O4. Следовательно, величины (11.279) не преобразуются как 4-вектор относительно линейных преобразований, т. е. Pi совпадает с 4-импульсом только в глобально покоящейся системе [175].
Мы видели, что полный 4-импульс любой асимптотически лоренцевой системы определяется одним из интегралов (11.183), (11.266) или (11.272), а его распределение по пространству — времени однозначно не определено. С точки зрения общего принципа относительности не совсем удовлетворительно, что величины, определяющие Pi или P1, являются 4-векторами только относительно асимптотически линейных преобразований. Ранее мы установили, что 4-импульс частицы, которую можно рассматривать как островную систему малой пространственной протяженности, является 4-вектором в произвольной системе пространственно-временных координат. Поскольку различие между «малой» и «большой» системами — понятие трудноопределимое, естественно было бы потребовать, чтобы удовлетворительная теория давала выражение для 4-импульса любой изолированной системы, который являлся бы свободным 4-вектором относительно произвольных пространственно-временных преобразований. Можно показать, что для удовлетворения этого требования необходимо, чтобы суперпотенциал был истинной (не только аффинной) тензорной плотностью ранга 3 [182]. Ясно, однако, что такой объект невозможно сконструировать из метрического тензора gik и его первых производных gik, г> а следовательно, нельзя удовлетворить указанным требованиям. В ряде статей автора настоящей монографии [176, 178 — 181] был указан путь преодоления этих трудностей, а именно: описывать гравитационное поле не метрическим тензором gik (х), а тетрадным полем /г[а) (х). Связь между ними в каждой точке дается формулами (9.81) и (9.86>
