Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
В приближении слабого поля (11.45) на больших расстояниях г от островной системы имеем
Xih = (и/2лг) Ciih (и, 0, ф)+ O2, и = ct т, (11.250)
где aik в волновой зоне вычисляется по (11.50). Далее, из (11.33)
hik= (х/2лг) ^aik- Y THfedj , a=aj (11.251)
и в том же приближении
gik — x\lk—hik, (11.252)
где подъем индексов у /г,?;, aik и выполнен с помощью r\lk. Здесь Zijfe и Xih — функции от (г, 0, ф, и) порядка O1 по 1/г. Следовательно,
hik, і= (^ife)u Иг “Ь0з>
Х?* = (х/4пг) (a/)aHfe + 02.
(11.253)
Поскольку Xi\ = 0 в соответствии с (11.28), то (а,-)ц1? = 0, что согласуется с (11.50) для аїр,- Показать, что 8 HxJ имеют асимптотический вид
Й = O3; т\ = (*/8л. 2иг'2) |(alm)u (а1т)и — у (аи)г J щ ц* -(- O3 =
. = (-/,JSjic1 Sitr1) <(ЬЯ|1)2 — 2 (6>lL n^)2 +-(Ojtli л* /г^)2 —
я* ft»1)2} [Xi |i*/2 +O3, (11.254)
•где D^v определяется по (11.49), a D = Di^.
Далее, вводя понятие квадрупольного момента
^v = 3D^v-6^vD; QJJ = O, (11.255)
можно показать, что
Tbi = (&/Зблс6 /+ <(Q^)2/2- (Qjtfl ^)2 + (Qjlfi «>¦я»)2/4} {хг ^ +O3, (1 1.256)
где k — гравитационная постоянная Ньютона.
Показать, используя (11.197), (11.228) и (11.256), что полный импульс в этом приближении постоянен, в то время как потеря энергии равна
-dtf/df = (k/45c*) (QjlfiQjlli). (11.257)
Заметим, что среднее по направлениям произведение компонент единичного век-
тора равно нулю для любого нечетного числа сомножителей и что
V3;
^ ' (11.258)
п»пч nAn* = (6^8^+6^6^+6^6^)/15.
Рассмотреть двойную звезду с массами mt и т2, вращающимися со скоростью со п плоскости ху под действием ньютоновского притяжения. Вычислить ее квадрупольный момент как функцию времени и показать, что потеря энергии за оборот согласно (11.257) равна
— AW==(64n/5)fen2r«(os/c6, (11.259)
где г — расстояние между массами системы, a jx = т1т2/(т1 + т2) — приведенная масса. В ньютоновском приближении энергия связи системы равна
E = k (InljTtn2) \iJ2r. (11.260)
Следовательно,
— Д///Я = (128л/5) [(1/(^+/и2)] (у/с)8, (II.261)
где V — г© — относительная скорость. Эта величина оказывается чрезвычайно малой для всех известных двойных звезд и существенно возрастает лишь в исключительных случаях.
§ 11.12. Другие формы комплекса энергии—импульса
Подняв индекс і в (11.153) и (11.177), получим
gun Jkm = Oifc + gitn т* = gm ^ (gim ^ _ _gm цЫ.
Это выражение можно переписать в виде
TIk = %ik+ Xik = f (И.262)
где введены определения
Т* = g‘m Т* + gi” if* = ?« + xik\ j 2
^ik =Sirn^m.+, J
и
¦ф/й/ = — = gim ^ = (I/2? (— g)! 12) QimkrIi. (11.264)
338
Урав іение
ТгД = 0, (11.265)
вытекающее из (11.262) и (11.264), есть не что иное, как закон сохранения в форме, предложенной Бергманом и Томсоном [22]. Уравнения (11.263), (11.264) можно рассматривать как правила подъема индексов у комплексов Ti. и т* и у супер потенциала . Очевидно, что Т'/; и т'/? удовлетворяют условиям 1—2 на стр. 325. Следовательно, величины Xі (2) и P', получаемые из (11.160) и (11.166) заменой Tife на T?, удовлетворяют свойствам (11.163), (11.165) Ii 1—3 (см. стр. 327), (11.183), т. е. величины
Pl = (Xjc) С T1'4 dx1 dx2, dx3 = I і m (1 /с) C ^lA% n^df (1 1. 266)
R-* оо j
представляют собой контравариантные компоненты свободного 4-вектора относительно произвольных линейных преобразований.
В глобально покоящейся системе координат с метрикой (11.184) асимптотическая форма tyikl проста:
= 1]Ш + °3 = Ei) + O3 =
— (a/2w2) (I — EiJ (бiknl — б'7 nfe) + O3. (11.267)
Следовательно, в этой системе величины из (11.266), по аналогии с (11.186), имеют вид
P0i = (4яа j ж) б? = Ei) Р°,
а это означает, что Pi и Pi являются соответственно контравариантными и ковариантными компонентами вектора 4-импульса в произвольной системе координат, если эта последняя получена из глобально покоящейся асимптотически линейным преобразованием. В частности, в асимптотически плоской лоренцевой системе типа (11.156)—(11.159)
P1 = r\ikPk = (Р*, Hjс), Pn = P. (11.268)
Если умножить (11.262) на ]/(—g) и переставить члены, то можно получить комплекс энергии — импульса Ландау — Лифшица [130], а именно:
Qik ^ у(Zik + Qtk) = (11.269)
где
¦Qik = TtIkJr^iM . (д(—gyi2jdxl)lV(—g) = Iik-^iktgrsgJ2\ I
,_____ (11.270)
Ц,Ш = Y( —g) Ttfikl = (1 /2х) QimtkJi = — ф. J
Qik удовлетворяют условиям 1 и 2 на стр. 325.
Из (11.269) и (11.270) можно снова получить закон сохранения в виде
9% = 0. (11.271)
Из (11.269) видно, что Qik—аффинная тензорная плотность веса 2 и
P І, L— (!/?)§ Qii dx1 dx2 dxs = Iim (Xje) n^df (11.272)
R-* OO f
являются контравариантными компонентами векторной плотности веса 1 относительно линейных преобразований, и PlL.L есть 4-вектор относительна только лоренцевых вращений. Это — недостаток такой формы комплекса энергии — импульса. При использовании же асимптотически лоренцевой
339
:истемы координат уравнения (11.272) дают правильное значение 4-импульса системы:
PLl =P1. (11.273)
