Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
С помощью этих соотношений можно определить асимптотические выражения для Xk., И Т* = ^ki l с точностью до членов порядка O2 [178]. При вычислении т'г.
с этой точностью нам потребуются выражения g/?, / только с точностью до первого по-
рядка, так как они входят в во второй степени. Следовательно,
— 0/2) 1Ilm (У mh, 1 +У ml, h У hi, m) “Ь О 2 —
= (!/2 г) {[а[)и {лг+ (aj)H \xh~(^ki)u И1'} +O2I rL = O2; (VJs) glm).t = -yl,? + j
= — (CZlm)u \Lilr+ O2. j
І (11.225)
Здесь мы использовали (11.213), (11.220) и (1 1.222) — (11.224). Далее, подставляя (11.225) в (11.137) и (11.172) и используя (11.224), получаем
С = O31 т* = (1/2?) Ykm (VTs) +O3 -=
= (— 1/4мг*) {(а\) и [im + (а *) „ (aim)„ [і*} («**)„ [і; + O3 =
= (1/4?/-3) (Ciim)tt (а!т)и Ці Hft+Оз.
334
откуда следует, снова с учетом (11.224), что
xkL=2Nl\itv.klxr* + 03. (11.226)
При достаточно больших г мы можем пренебречь членом O3, тогда согласно (11.207) для плотности потока гравитационной энергии (11.199) получим
Sv = ^cxvi = Wlcnv !%гг. (11.227)
Обозначим теперь через dx^ и Sxfi два бесконечно малых 3-вектора, касательных л сфере радиуса R и направленных в сторону увеличения 0 и ф соответственно. Тогда из (11.205), (11.207), (11.208) и (11.195) получим, что
dх'~ =Rrnf" dQ-, = R sin б-/11 dcf, dfv = dx^ dxiU = nv R1 sin 0 dQ dtp — nv R2 da,
и поток гравитационной энергии через натянутую на эти векторы площадку оказывается равным
S cfo = 2Nu cdas/x = Wl с-sin 0 d<p/x. (11.229)
Полная энергия, покидающая сферу в единицу времени, есть интеграл по всем направлениям
я
— dH/dt = 15tfo) = (4пс/х) j iVusin0d0. (11.230)
о
IIp авая часть этого выражения полностью определяется функцией информации
и, как видно, никогда не должна быть отрицательной. Как следует из решения Бонди и др., система непрерывно теряет энергию в результате гравитационного излучения, если только N зависит от времени. Если же N не зависит от времени, то и А также ие зависит от времени, т. е. (CCjfc)u —- 0, а из (11.220) следует, что gih, I= O2, и мы, очевидно, приходим к случаю (11.159) замкнутой системы.
По аналогии получим, что поток гравитационного импульса через dfv есть
т^ dfv =Kf1 S dco/c {2Nu/x) sin 0 dQ dq>, (11.231)
откуда видно, что гравитационное излучение вызывает механическую отдачу системы точно так же, как и электромагнитное излучение. Из (11.197) и (11.231) находим, что
— dP^jCt = (2/и) JJ Na Kjl sir; 0 dQ dq>. (11.232)
Так как в случае аксиальной симметрии Nu не зависит от ср, то из (11.207), (11.230) и (11.232) получаем, что
«TC Jt
— dPi/dt—( 0; 0; (4я/х) j Nu cos 0 sin 0 dQ: —(4л/х) [/V« sin 0 dtp). (11.233)
0 'o
Аналогичным образом можно вывести асимптотическое выражение для и Tki = = т|№{; для этого нужно рассмотреть члены второго порядка в (1 1.220). После довольно длинных вычислений получаем
T* = 2 NlinlXkIX^+O3 (11.234)
И
Ці = (1/2хг2) {(С--2Л) |х; [Xft-(Nq + 2N ctg 0) тг (Xft) +O3. (11.235)
Из первого уравнения следует, что метрика (11.212) — (11.214) удовлетворяет уравнениям поля (11.201) с точностью до членов O2, а из (11.23), (11.153), (11.226) и (11.234) следует, что
I7Fr?) (Я?— 1/26?Л) = —х 1/(^2)- Tk=-K(Tkl-Xl)= 0, (11.236)
если пренебречь членами порядка O3.
Далее, из (11.235), (11.194) и (11.228) получаем следующее выражение для 4-импульса внутри большой сферы:
Pi (V, 0 = (1/с) J ^df^ = (IJc) \ Mp^4 Ridco =
1 )
= -(IfC) J yu R* *о = (1/2кс) JJ {(С —2A) R -
— (NB + 2N ctg 0) то sin 0^6 d<f +O1. (11.237)
335
(11.228)
При достаточно больших R (например, когда сфера находился в волновой зоне) можно пренебречь O1; 4-импульс Р*(ц) системы в этом случае определяется только оставшимися членами. Как и в предыдущем случае, аксиальная симметрия порождает условие
P1 = P2^o, (11.238)
а компонента импульса, параллельная оси симметрии, оказывается равной Р3=(2я/кс)
Л I я
J A cos 0 sin 0 dQ—------j {(Nq sin 0 -j-2N cos ())0 cos 0 —
0 2O
— {Nq sin 0 + 2JV cos 0) sin 0} dQ
где использовано (11.216).
Последний интеграл в этом выражении равен нулю, поскольку с учетом (II.221)
Л
= 0.
о
J {(Nq sin 0-|- 2N cos 0) cos 9}0 dO = (Nq sin 9 2N cos 0) cos 0 о
Следовательно,
я
P3 (и) = (2я/хс) J A cos 9 sin 0 dQ. (II .239t
о
Для полной энергии H — -CPi
я;
H (и) = (2я/х) J A sin 0 d9 = (4л/х) а (и), (11.240)
о
причем а (и) определено в (11.218). Сравнивая (11.240) и (11.187), видим, что усредненное по всем направлениям значение массовой функции А (и, 0) играет ту же роль, что и
константа а в случае изолированных систем. Дифференцируя (11.238) — (11.240) по и
и используя (11,215), мы снова возвращаемся к (11.233), поскольку d/du = с-1 (dldt) и
я я
j С sin 0 d0 = j С cos 0 sin 0 d0 = 0. (11.241)
о о
Если информационная функция симметрична относительно ху-плоскости 9= л/2, т. е. если
N {и, Q) = N (и, я—0), (11.242)
то из (11.233) следует, что
dP Jdt = O. (11.243)
Если такой симметрией обладает и массовая функция
