Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
*»' = (*, у, г, ct),
полученную из (11.202) преобразованием
х = г sin 0 cos ф; у = r sin 0 sin ф; г = г cos 0; )
Xi = Ct = U-^r; U = X1 — r = ct— г. і
Соответствующие преобразования коэффициентов есть дг1дх! = щ; OQJdxt = ITiiJr; \
SqIdxi = IiJr sin 0; ди/дх‘=ік,і, J
(11.204)
(11.205)
(11.206)
332
где введены ВЄЛИЧИIIЬ!
Пі —Ht = (sin 8 cos cp, sin 0 sin ф, cos Q, 0)~ (xv/r, 0);
Wt =W1 = (cos 9 cos ф, cos 0 sin ф, — sin 0, I);
Ii = Ii = ( — sin ф, cos ф, 0, OJ;
R = eO !-I1 = (— sin 0 cos ф, — sin 0 sin ф, — cos 0, I) = —(i)j4 + re,-), удовлетворяющие соотношениям
щ Hi-ITtj Itii-Ii Iі — I, ц;|х' = 0;
Hi in’ — Hi Ii=Zni Iі = Tni ji.' = Ii Jii 0; m {Xі' = — I,
"ц = SvX m v l%> ffV - SvX lv nh> V = eUvX nv mX-
(11.207)
(11.208)
Кроме условии I—3, мы должны еще потребовать, чтобы решение (11.201) не содержало входящих гравитационных волн. Если мы положим
Sik = 1liA + ^ife« (11.209)
то это последнее условие можно сформулировать так: 4. Для больших г, Hik есть разло-
жение в ряд по степеням I /г вида
Afft = ocIft/r + Pfл/га + ..., (11.210)
где коэффициенты GSjJl, Pjft и т. Д. являются функциями только 0, ф и и.
Условие 4 эквивалентно условию излучения Зоммерфельда:
d(rhik)/dr(lliQt(p)=const — Одля г-^оз. (11.211)
В дальнейшем нам ие потребуется точный вид gik, достаточно будет знать их до второго порядка по 1 Ir. Полагая
Vih = ^iklr = 0V zik = VikIr2 =Oil (11.212)
имеем с учетом (11.209) и (11.210)
Sik — 1Iifi -\~yik~\~Zik +Оз. (11.213)
Как показали Бонди и др. [29, 178], наиболее общая форма CCjft и (Jjft в случае аксиальной симметрии такова:
Ocift (u, 0, <\)=2N(mimk— Ii lk) +A^i [ift + (We + 2/V ctg0) (Itti ц* + ц.?mk);
Рій (и, 9, ф) “2/V2 (TniTnkjTliIk)-2T-Y Ni^i nk + m {J,ft) +(Be + S ctg0) ^ Hfe-
-(2B + AW0) (ZnitIft + (Itmft). (11.214)
Здесь N (и, 0), А (и, 9) и В (и, 0) — функции от и и 0, зависящие от типа рассматриваемой материальной системы, a B0 и Nq — частные производные по 9. Величины N, AaB можно назвать функциями интегрирования по аналогии с постоянной интегрирования в решении Шварцшильда а (11.83). Однако они ие являются независимыми. Чтобы
удовлетворить всем уравнениям (11.201), их нужно связать уравнениями
Аи = -Щ+Си;
-ЗВ„ = Л0 /2 + WNuq +Ша Ctg 0+JVtt
(11.215)
где
С = Wee+SiV0 ctg 0 — 2N = (Nq sin 0 + 2Д? cos 0)e/sin0 =
= {(N sin3 0)0/sin 9}0/sin 0, (11.216)
а каждый индекс (и, бит. д.) означает частную производную по соответствующей переменной.
Если дана N (и, 0), то функции А и В можно получить, интегрируя (11.215), и вся информация о системе, следовательно, определяется только N, которую Бонди и др. назвали функцией информации. При больших г скалярный потенциал, вытекающий из (11.212) и (11.214), есть
X = —с2 (?44+ 1)/2 = —i4c2/2r+O2- (11.217)
Сравнение с (11.87) показывает, что функция А (0, и) играет ту же роль, что и кон* станта а в (11.83), связанная с массой (или энергией) уравнением (11.88). Как мы увидим,
333
іеличина
it
а (и) --= (1 /4л) J А (и, 0) d(,)^ \ Л(и, 0) sin 0d0/2 (11.218)-
о
связана с полной энергией (или массой) в общем случае. Поэтому мы будем называть А (и, 0) массовой функцией.
Легко проверить, что метрика (11.212)—(11.214) удовлетворяет требованиям 1—4, т. е. уравнения (и, 0, ф) = const или Xfl — cn^t + с постоянными м'и =XfxIr и х§ описывают движение выходящего светового сигнала в соответствии с (8.100). Далее, площадь параллелограмма на сфере г = const, t = const, натянутого на два бесконечно малых вектора, соответствующих приращениям dQ и dq> переменных 0 и ф, равна r2sin QdQdtf. А теперь убедимся в том, что эта метрика удовлетворяет уравнениям поля (11.201) с точностью до необходимого нам порядка.
Для произвольных функций if (г, 0, ф, и) переменных Xі имеем, учитывая (11.206), дт|^jdxi .т. ij),/ = г|?и цг + ^ni + % TniIr + \lilr sin 0. (11.219)
В частности,
Уік,і = П {^ik)uJr + [ — ctifc лг + (аг^)0 лі/+ (а/й) /г/sin ej/r2; )
(II 220>
=Jft, i = (Zjfe)a Иг + Os = Vi (P;ft)„/r2 + O3. j
Чтобы убедиться в регулярности метрики на оси симметрии, удостоверимся в том, что gift не зависят от ф, когда sin 0 стремится к нулю. Из уравнений (11.213) и (11.214) видно, что для этого необходимо, чтобы JVZsin2O оставалось конечным, т. е. чтобы
JV (и) sin2 0 при sin 0 -> 0. (11.22] )
Как и в (11.207) мы поднимаем индексы в г//й, г/*, сс/^ и |3;ь с помощью постоянной матрицы r\lk. Тогда легко видеть, что контравариантные компоненты метрики gile, определяемые (9.7), можно разложить в ряд
gik = nik__yik^_z,k +уіг yb Jr0sr (И 222)
а детерминант g равен
У (S)=I-N (и, 0)2/2/"2 + О3. (11.223)
Далее, из (11.214) и (11.208) следует, что
aj = 0; Ctift цй = 0; (aih)n = 0; щ ^i =--0; \
2 (11.224)
(aih)u (&1 )и — (Ріь)м Ц — —NNulli, j
Кроме того, из (11.207) следует, что
(яг)в = — (Ft)e = mr> (ni)ff = — (н-г)ф = sin 0; \
(Hii)e-—щ; (т;)ф = /гсо5 0; 1 (11.224')
(/i)e = °; (U)9= — (m/cos0+«?sin0). J
