Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
вид
= —(а/2кг2) (I — 6j)) (6* ri—b\ ak) + O3, (11.185)
Pt = Iim (1 /с)
ос
H0 = Azidly. > 0.
(11.187)
Рй=(//«/с2/К(1 -а2/с2Ж; H = HVf(I-V2Ic2) . (11.188)
M=M0Ifl-V2Ic2; M0 = H0Ic2; H = Mc2. (11.189)
330
Активная гравитационная масса изолированной системы в глобально покоящейся системе координат связана с константой а в (11.184) уравнением (11.88). Далее, используя (11.187) и (11.189), получаем
Ma0-е = 4па/ж2 = H0Ic2 =M0. (11.190)
Следовательно, активная гравитационная масса равна инертной массе и равна пассивной гравитационной массе, что и должно быть, если справедлив принцип эквивалентности. Тождество этих трех типов масс является фундаментальной отличительной чертой теории гравитации Эйнштейна.
§ 11.11. Неизолированные островные системы.
Гравитационное излучение
В предыдущем параграфе свойства 1—3 4-импульса изолированной системы были выведены как следствие асимптотической формы (11.159) метрики,
в которой последний интеграл (11.162) исчезает при R->¦ оо. Мы рассмотрим
теперь систему, в которой hik и gikil имеют порядок O1 при больших г, т. е.
Atfc = O1; Siki-=O1. (11.191)
В этом случае последний интеграл (11.162) остается конечным, и 4-импульс не будет не зависящим от времени лоренцевым 4-вектором, а это значит, что система не является полностью изолированной.
Пусть S1 и S2 — гиперповерхности t — I1 и t ~ /2 соответственно, причем
(П. 192)
а С — гиперцилиндр радиуса г = R с Tki = 0, т. е. находящийся вне материальной трубки. В этом случае из (11.162) получаем
Pi (V, IJ-Pi (V, t,)=-(IfcfyUSh. (11.193)
с
Здесь
Pi (V, f) = (i/c)$T? (*№ /) dxldx*dx3 = (1/с) J(11.194)
}
есть 4-импульс, определенный в области V внутри сферы / радиуса R в момент времени t, а
dSk = Ehlmn dx16хтАхп в соответствии с (9.57). На С мы можем выбрать
dx1 = (dx\ 0); Ьхт = (6xf\ 0); Дхп = (0, 0, 0, cdt), где 3-векторы dx%, определены на поверхности f. Следовательно, dSh — Є?Хц4 dxx Sxf1 cdt = (cdtdfv, 0); dfv — evxp. dx1 Sx*\
Приращение 4-импульса Pi (V, t) за промежуток времени (Y1, U), согласно (11.193), равно
APi=Pi(V, tJ—Pt(V, tj=—^dt^xldfh. (11.196)
Іг f
Если промежуток времени бесконечно мал, т. е. Z1 = t, t2= t-\- dt, то
— dPt (V,t)ldt = Ir^dfv. (11.197)
і
331
(11.195)
Таким образом, интеграл в правой части дает гравитационный 4-импульс, покидающий сферу в единицу времени. Поскольку H = -CPi, то (11.197) при і — 4 дает
— dH Jdt=-C^ Xldfy, (11.198)
f
т. е. величину
(Bv=-CXvi (11.199)
следует интерпретировать как плотность потока гравитационной энергии на больших расстояниях от материальной системы. Если мы сможем сконструировать приемник гравитационного излучения, то для него Ov будет вполне измеримой физической величиной. Аналогично следует интерпретировать как плотность потока гравитационного импульса. На больших расстояниях
(11.199) согласуется с (11.155), так как
©v = yi/2 5v_ (11.200)
С помощью (11.194) и (11.197) мы можем вычислить потерю 4-импульса
в результате гравитационного излучения, если нам известна метрика на большом удалении от островной системы.
Первое определение потери гравитационной энергии, выполненное Эйнштейном [77], было основано на приближении слабого поля (11.13) (см. упражнение в конце настоящего параграфа). Полученная таким путем величина оказывается очень малой для всех реальных астрономических объектов даже за космологические промежутки времени. Хотя подобные вычисления и дают разумное по порядку значение энергии, неясно, можно ли вообще применять линеаризованную теорию Эйнштейна к исследованию проблемы гравитационного излучения. Ведь хорошо известно, что решения нелинейной системы уравнений не могут быть аппроксимированы линейными решениями в больших областях пространства — времени. Исходя из этого, Бонди, Ван-дер-Бург и Метцнер {29] попытались установить точную форму метрики на больших расстояниях от осесимметричной системы без падающего излучения. Их исследование было затем обобщено Саксом [212] на случай произвольной островной системы. Мы рассмотрим для простоты только аксиальную симметрию. (За подробностями рассуждений мы отсылаем читателей к оригинальным работам этих авторов.)
В пустом пространстве, вне материи, уравнения поля (11.23) имеют вид
Kift = O. (11.201)
Хотя в общей теории относительности, как хорошо известно, все системы координат равноправны, существует, тем не менее, особый класс систем, в которых граничные условия имеют особенно простой вид. Бонди и др. вводят координатную систему
Xt— {г, 0, ф, и), (II.202)
удовлетворяющую следующим свойствам.
1. Преобразование ср ф + а описывает вращение иа угол а относительно оси симметрии, т. е. gik не зависит от ф.
2. Поверхность du = dr = 0 имеет площадь 4яг2.
3. Kp ивая du = Й0 = йф = 0 представляет выходящий световой луч.
Поскольку для света dsг = gikdxldxk = 0, из свойства 3 получаем
In-0, (11.203)
т. е. система координат (11.202) не удовлетворяет условиям (8.52) и (11.158). Поэтому нужно использовать асимптотическую лоренцову систему координат
