Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
§ 11.10. Суперпотенциал. Полные энергия и импульс изолированной системы
В приложении 6 (уравнение 15) точное выражение для комплекса энергии— импульса гравитационного поля (11.154) дано в виде
Tf = • (11-172)
Там также показано (уравнения 16 и 18), что т* могут быть выведены ИЗ 2 в другой форме
т* =, (1 /и) (gkmt д с fdg1™ + gkm д ?/dgimy (11. 173)
В отличие от Tf., которые являются функцией только метрического тензора, полный комплекс энергии — импульса Tf. зависит также и от тензора энергии — импульса Tf. Ho, учитывая уравнения поля (11.23), мы можем представить Tf так, чтобы он тоже зависел только от метрического тензора. Используя (11.153), (11.144) и (11.173), получаем
Tf = — (К( — g)/x) gkm{Rim — gim#/2)+T? =
= {ae/a^-(ae/c^)j + (i/*) (gkr?dZfdglri+gkmd Zfdgtm) =
--=№) («*“ а с/а^Л). •
Следовательно, Tft приобретает вид обычной дивергенции
Tf . = Ski1,г (11.174)
где
S? = (gkm In), д 2 Idgi*. (11.175)
Выражение для Tf, полученное Толменом [259], можно привести к более
удобному виду. В самом деле, sfj есть функция метрического тензора и его
328
производных и тождественно удовлетворяет условию
(s?'.,b = °. (11.176)
вытекающему из (11.174) и (11.152). Следовательно, Т*. можно записать теперь в виде
= (11.177)
где суперпотенциал
^ki = _ цк (11.178)
антисимметричен по индексам k и /. Эта возможность впервые была замечена Фрейдом [98]. Точное выражение для супер потенциала дано в приложении 6 (уравнение 22) и имеет вид
Ф*' = Bnm.« - (11.179)
где
Qiklm _ ( — g) (gil gkm— gim gft/) (11.180)
есть истинная тензорная плотность веса 2, удовлетворяющая тем же условиям симметрии (9.234), которым удовлетворяет тензор кривизны, а именно:
gIklm _ __Qikml - - _Qkilm — Qlmik •
Qikim _j_ Qiltnk Qimki _
Суперпотенциал является поэтому только аффинной тензорной плотностью веса 1. Вводя (11.177) в (11.160) с помощью (9.223), получаем
&(2)=-(l/c)^f.,dSft=Hm(l/2c) ^ (11.182)
2 H-*-ао Ф<Д)
где Ф (R) есть двумерное пересечение 2 и цилиндра С с постоянным г = R. Поскольку Ф (R) лежит на пространственной бесконечности, то выражение (11.182) для (2) инвариантно относительно группы преобразований (11.171). Для 4-импульса (11.166) получим по аналогии, если учесть, что ij)*4 = 0,
Pi = (1 /с) ^ Т{ dx1 dx2 dxz = (1 /с) ^ 'фг’д dx1 dxа dx3. (11.183)
На основании теоремы Гаусса, справедливой в случае трехмерного пространства, можем записать
Pi = Iim (1/с) С TJ^ dfr, = Iim (1 /с) ^ S^fxv dx& dxv =
і?-* CO j R—у oo
- Iim (Iic)\^nKdf, (11.183')
R OO ^
где интегрирование выполняется на «сфере» /с большим «радиусом» R. Здесь dxи dxv есть 3-векторы, лежащие на сфере; п% = x%!r\ df = r2dсо = = /-2Sin Bdddq), а 9, ф — полярные координаты, связанные с (х, у, z) обычными соотношениями (11.191). Выражение (11.183) следует также из (11.182), если считать 2 гиперповерхностью с t = const.
Рассмотрим снова изолированную островную физическую систему. Из систем координат (11.156)—(11.359) выберем такую, чтобы тело покоилось в ней как целое. Для большинства изолированных систем (хотя и не для всех, см. § 11.11) такая «глобально покоящаяся система» обладает тем свойством, что метрика в ней на больших расстояниях сферически симметрична и статична. Более точно, метрика сферически симметрична с точностью до O1 и не зависит от времени сточностью до O2. Согласно (11.90) это значит, что координа-
329
(11.181)
гы в глобально покоящейся системе могут быть выбраны с асимптотическими свойствами типа
gik — (eo jTaIir) + O2 + O3;
§ =—(1 + 2а/г) + O2 + O3;
= a/r) 6,-? +O2+ O3. .
(11.184)
Здесь не зависящие от времени члены O2 и их производные (O2),І имеют
(С другой стороны, мы могли бы выбрать такие координаты, в которых метрика на больших расстояниях имела бы вид (е), стр. 317).
Глобально покоящаяся система, конечно, не является системой покоя для каждой частицы системы в отдельности, т. е. она не является сопутствующей системой типа рассмотренной в § 10.8. Очевидно, существует целый класс таких систем координат, поскольку любые преобразования вида (11.171) и любые ортогональные преобразования пространственных координат (х, у, z) дают новый экземпляр глобально покоящейся системы. Члены O3 и высшие степени Mr не обязательно должны быть не зависящими от времени.
Вводя (11.184) в (11.179) и (11.180), легко находим следующие асимптотические свойства суперпотенциала:
где п‘ = Brjdxi = [х^/г, 0).
Следовательно, 4-импульс (11.183) тела в глобально покоящейся системе
есть
Сравнение с (11.166) показывает, что полный импульс равен нулю, оправдывая название этой системы, а полная энергия в соответствии с (11.89)
Из свойства 2, на стр. 327, замечаем, что лоренцевы преобразования с относительной скоростью Vi дают новую систему координат, в которой импульс и энергия равны соответственно
Отношение импульса к скорости дает выражение для инертной массы М:
Эти формулы находятся в полном соответствии с соотношениями СТО (3.55), (3.58). Они возникают как следствие законов сохранения, которые, в свою очередь, являются следствиями уравнений гравитационного поля Эйнштейна. С учетом (11.177) подынтегральное выражение T\/с в (11.166) можно выразить только через переменные гравитационного поля. В некотором смысле полный 4-импульс изолированной системы может быть интерпретирован, как собственная гравитационная энергия и импульс, а законы преобразования (11.188) и (11.189) для импульса, энергии и массы — как следствия трансформационных свойств переменных гравитационного поля относительно преобразований Лоренца. Это обстоятельство лишний раз подчеркивает тесную связь между гравитационными и механическими свойствами материи.
