Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
(l/c)$T?*d*=-(l/c)$ TidSk-(Hc)^ T^dSft+ (1/с) J TfdSft = O. (11.162)
Q I1 S2 с-
Здесь dSk направлено пз области Q.
Если радиус R цилиндра С устремить к бесконечности, то последний интеграл в (11.162), как легко видеть, исчезает. Это следует из того, что Sw = О и Tki = O4 на С, согласно (11.159) и условию 2 в начале доказательства. Следовательно, Tf = O4 на С, и, поскольку область интегрирования в последнем интеграле (11.162) по крайней мере порядка O3, этот интеграл исчезает при R оо. Далее, так как dSk направлен из Q, т. е. на 2Х и 23 в противоположные стороны, то из (11.162) вытекает, что
Sl-(S1) = Si(S2). (11.163)
откуда следует, что величины (11.160) не зависят от выбора 2.
Если 2 в (11.160) — гиперповерхность с t = const, то можно выбрать
dx1 —Sitdx1', dxm — 6m2 dx1-, Axn = S n3dxs,
что дает
dSh = ehvl3 dx1 dx- dx3 = —6,;4 dx1 dx2 dx3; I
(11.164)
dS* = gik dSk = —-g44 dx1 dx2 dx3 > 0.
325
Следовательно, интегралы (11.160) сводятся к
Si(S)=Pi, (11.165)
где Р; — пространственные интегралы
Pi = (1/с) J Tf. dx1 dx*dx> = (Pilt-Hfc), (11.166)
причем согласно (11.155)
Pp. = (Uc) ^ T^dx1 dx2dxz = \dV; )
J J (11.167)
H = — ^ T* dx1 dx2dx3 = ^hdV. J
В отличие от gn и А, которые, как мы видели, не имеют физического смысла, выражения (11.166) и (11.167) могут быть интерпретированы как полные импульс и энергия системы, так как совершенно очевидно, что они удовлетворяют следующим условиям:
1) величины Pi не зависят от времени;
2) они преобразуются как ковариантные компоненты 4-вектора при произвольных линейных преобразованиях координат;
3) они инвариантны относительно всех тех преобразований координат, которые не изменяют значений координат на пространственной бесконечности.
В частности, условие 2 справедливо для преобразований Лоренца. Условие 1 следует непосредственно из (11.165) и (11.163), если S1 и S2 выбраны как гиперповерхности / = I1 и t = t2 соответственно, причем постоянные Z1 и t2 произвольны.
Далее, учитывая условие 1 на стр. 325, находим, что величина Tf. dSh преобразуется как 4-вектор относительно линейных преобразований
Xli=A1kXk- хк = Akl Xа,
т. е.
т;1 dS] = Af TidSh (11.168)
а интеграл по гиперповерхности 2 дает
(S) Sft(S). (11.169)
Следовательно, если S1 и S2 — Две гиперповерхности с t' = const и t = const соответственно, то из (11.165), (11.169) и (11.163) получаем условие
Pl = S/ (S1) = Af Зл (S1) = Akl Ъи (S2) = Л? Ph, (11.170)
т. е. условие 2 на стр. 327. Наконец, при преобразовании
л'1 = / (Xі),
p(x)-+xl\ gik-+gib, gik,i-+gik,i для r-> OO (11.171)
гиперповерхность S1 с постоянной X4 — а совпадает на пространственной бесконечности с поверхностью S2C постоянной х'4 = а. Мы можем поэтому ввести третью систему координат х"‘, которая на поверхности S1 и в ее окрестности совпадает с первоначальной системой (х‘), а на поверхности S2 и в ее окрестности совпадает с (х'‘). Поскольку соотношения (11.163) и (11.165) справедливы в любой из введенных систем координат, получаем
Pi = Si (S1)=з; (S1)=s; (S2) = з/ (S4)=р;,
что является условием 3 на стр. 327.
В следующем параграфе мы увидим, что лоренцев 4-вектор Pi, определенный в (11.166), является времениподобным, а это значит, что Pi обладает всеми свойствами полного 4-импульса замкнутой островной системы специ-
327
альной теории относительности. Хотя мы не можем в общем случае дать вполне определенную физическую интерпретацию распределению гравитационной части энергии и импульса, все же следует подчеркнуть, что эти величины вносят значительный вкладе подынтегральное выражение Tf в интегралах (11.166). Если в этих интегралах пренебречь величинами т*, то результирующее выражение не будет удовлетворять свойствам 1—3. Следовательно, Xki играют существенную роль. Мы будем называть эту систему величин комплексом энергии— импульса гравитационного поля. По аналогии аффинная тензорная плотность Ti носит название комплекса энергии — импульса полной системы.
Может показаться удивительной невозможность непротиворечивого определения количества гравитационной энергии, заключенной в малом объеме. Однако эта трудность идет, прежде всего, от невозможности измерения гравитационной энергии. В случае линейных полей специальной теории относительности энергия, содержащаяся в малом объеме V, может быть измерена введением в эту область такого прибора, который уничтожает поле внутри V без какого бы то ни было влияния на поле вне V. Тогда энергия, необходимая для уничтожения поля внутри V, приравнивается к собственной энергии самого поля. Например, в случае электрического поля мы можем внести в малую область V конденсатор, который, будучи предварительно заряженным до определенного потенциала, может уничтожить поле между обкладками, в то время как поле вне конденсатора никаких изменений не претерпевает. Работа, затраченная на предварительную зарядку конденсатора, дает представление об энергии исследуемого электрического поля. Этот метод основан на том факте, что уравнение поля линейно, и всякая суперпозиция полей снова приводит к новому решению уравнений Максвелла. В случае гравитационного поля эта процедура неприменима, так как мы имеем дело с зарядами только одного знака, а уравнения гравитационного поля существенно нелинейны.
