Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
k; = IdghlIdxi) Y[^g) Tkl 12 (И. 149)
в правой части (11.148) можно записать в ковариантной форме
ki=—dx\ldxk\ т= (11.150)
где tf, есть комбинация 42 величин, зависящих от компонент метрического тензора и их первых производных. Величины Ui и tf. не преобразуются, конечно, как тензоры, но уравнения (11.148), (11.149) и (11.150) интегрированием по пространственным переменным будут, как мы увидим позже, приводить к сохранению величин с простыми законами преобразования и имеющих ясный физический смысл [72, 73, 78, 128].
Чтобы проверить (11.150), запишем сначала (11.149) в виде
ki = - (dg*4dx0 Y(=g) TklI2, (11.149')
используя правило опускания индексов и соотношение (9.7). Принимая во внимание (11.12), (11.149) и (11.145), получаем
Al = -4-VT=S /(=F) -
2 дх‘ 2 и дх‘
___ I j д& Oglm____________________д___ ( д$ \ Dglni } __
2х j dglm дх1 дхк ^ dgl™ J дх1 j I ( dglm , д§ d2glm д '/ \/Oglrtt
2х I dgl,n dxL ^glnI дх1 дх'г дхк
( <2 ) ('
дх1
324
Поскольку § есть функция только glm и g!mk, а
d2 g^jdx1 дхк = BglirItIdxi,
сумма первых двух членов в скобках есть просто dSfr/dx1.
Следовательно, kt имеет вид, как в (11.150), где
A. = VT-g) ti- = (lI2yi) {(dfeldg.'k) gmi — bki &} =
= (l/2x){(de/ag^)^,?-S?S-6J2XVrF^ijJ • (11.151)
Используя (11.150) и (11.148), получаем закон сохранения энергии и импульса в виде
BIktJdxk = Ot (11.152)
где
T?. = S?+ т?.. Tl (11.153)
Если пренебречь малым членом X, как мы это будем делать впоследствии,
TO T;. СВОДИТСЯ К
т?. =(1/2^((^2/5^)^-6^2) = IZFz^) (П.154)
Эта величина исчезает в локально инерциальной системе отсчета, т. е. гравитационное поле локально уничтожается. Закон сохранения в форме (11.152) и (11.153) предполагает, следовательно, что плотность энергии, импульса и потока энергии полной материальной системы плюс гравитационное поле могут быть записаны соответственно в виде
h= -(і +гх/с2)1'2^+/?) = - W'2; glx = (I + 2 Xlc2) » /2 (Tfl -f t*)/c = Щсу'1 г2;
S** = — с (1 + 2х/с2)172 (Г? + /?) = — сТ?/?1 /г.
(11.155)
Однако такая интерпретация 4 с физической точки зрения встречает затруднения, так как t) не есть тензор, т. е. g^ и St1 не будут преобразовываться как 3-векторы при нелинейном преобразовании пространственных координат, a h не будет инвариантом относительно этих преобразований. Следовательно, распределение гравитационной энергии в данной системе отсчета зависит от выбора (х‘) в данной точке, а это значит, что искомые величины не имеют определенного физического смысла.
Тем не менее, можно показать, что интегралы от и h по физическому пространству, по крайней мере, для островных систем обладают всеми физическими свойствами полных энергии и импульса системы.
Для доказательства этой очень важной теоремы существенно, что:
1) т? и Jki суть аффинные тензорные плотности веса 1, т. е. они преобразуются как тензорные плотности при линейных координатных преобразованиях;
2) т? есть однородная квадратическая функция частных производных glj или gih<l метрического тензора.
Теперь рассмотрим островную систему, т. е. систему, тензор энергии — импульса Tki в которой исчезает всюду вне мировой трубки с конечными пространственными размерами в 4-пространстве. В этом случае мы можем предположить, что пространство — время асимптотически плоское на большом пространственном удалении от трубки. Это значит, что возможно введение системы координат
х1 = (х, у, z, ct), г = (х2+ t/2 + z2)‘/2, (11.156)
в которой
Sih-^xXih при оо. (11.157)
325
Такая система называется асимптотически лоренцевой. (Бесконечность в (11.157) означает область, где г велико по сравнению с пространственными размерами материальной системы, но мало по сравнению с космологическими расстояниями, где может уже играть существенную роль А,-член.)
Островная система не обязательно должна быть изолированной. Хотя, по определению, материальная система в нашем случае не может испускать материальных сигналов типа электромагнитного излучения, тем не менее она может быть связана с внешним миром испусканием гравитационного излучения, зависящим от способа устремления gik к плоской метрике r]ift при г-»- оо. Островная система считается изолированной, если можно ввести такую координатную систему (11.156), в которой метрика
Sik = + (11.158)
имеет асимптотические свойства
^ih = O1, gih, I = Iilkfl = Oi. (11.159)
Здесь O11 с положительным п означает член, в котором гп0п остается конечным при г-*- оо; член On может быть также равным нулю. В отличие от величин hik в (11.17) hlh в (11.158) не обязательно должны быть малыми.
Пусть 2 — произвольная пространственноподобная трехмерная бесконечная гиперповерхность и пусть Si (2) суть следующие интегралы по 2:
3/(S) = — (1 /с) С Т? dSh. (11.160)
Здесь
dSk = Shlmn dx18хт Axn
есть величина (9.57), ортогональная к dx1, 6хт, Axn на 2. Чтобы фиксировать знак dSh, условимся, что dSk направлен в будущее, т. е.
dS4 = g*k dSk > 0. (11.161)
Пусть далее Q есть область 4-пространства, ограниченная двумя пространственноподобными гиперповерхностями 2Х и 2а и «гиперцилиндром» С, состоящим из точек с большим значением R = const переменной г = {х2 + У2 + + г2)1/* (см. рис. 15, с23 = С). Интегрируя уравнение (11.152) по Q и используя теорему Гаусса (9.222), получаем
