Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Далее, из (9.127) имеем
6 V (~g) = —'Sg/ Y (—g) 2 = — (ggikj2 Vi—g)) Sgifl =
_____ ^-Y(-g)gikbgih!2; (11.128)
S {V(—g)gik\ = Vi-g) (bglk—gikgimbglml2), (11.129)
и подынтегральное выражение второго интеграла в (11.124) принимает вид
f/Fg)^} =V(zrI) (Rik--Rgik)^gik-
Следовательно, вариация интеграла J1
6Л =J Rgikft) ^gik Y(—g)dx. (11.130}
Аналогично, принимая во внимание (11.128), получаем, что
2kY(ZZg)dx^-[)Xgik8g^Y(::ZF)dx. (11.131)
Складывая (11.130) и (11.131), видим, что вариация инварианта
J^(R + 2X)V(ZZg)dx (11.132)
равна
bJ=\MihbgikV(—g)dxt (11.133)
где Mik есть тензор, стоящий в левой части (11.12). Таким образом, уравнения гравитационного поля для пустого пространства
Mift=O (11.134)
эквивалентны вариационному принципу
bJ = 0 (11.135)
при любых вариациях Sgik, лишь бы они вместе со своими первыми производными обращались в нуль на границе ?2.
Ясно, что (11.130) и (11.133) будут справедливы и в случае, если из J1 и J вычесть любой интеграл, подынтегральное выражение которого имеет форму обычной дивергенции. Такие выражения всегда можно преобразовать в интегралы по поверхности Q, которые, как мы видели, не дают вклада в б/х и &J.
Теперь вклад в R Y(—g) ~ RikgihV(—g)> вносимый первыми двумя членами (11.123), может быть записан в виде
(drlaldxk-dTlikldxl)V (zzIgin = д {V(zzI) gik ГЬ} Idx* — -d([V (~g) gik Г к] IdXt- (а {V (~g) gikl дхк) Vtil +
+ d{V(~g)g!lt}ldx‘)Tla^ (11.136).
322
где первые два члена, как обычные дивергенции, исчезают. Далее, подставив вместо OgikIdx1 выражение (9.125), содержащее символы Кристоффеля, и используя соотношение
d V(S)Idxi = V(S)Tu, получим, что последние два члена в (11.136) сводятся к 2 ?, где
C= (11.137)
Поскольку вклад в RV(S) от последних двух членов (11.123) есть—2, из (11.130) и (11.133) можно получить
S^Xdx = \VTsURiH—RgikV)>k dx (11.138)
и
б U ft dx - J V(S) Mih Sglk dx, (11.139)
где
$ = ?+ 23iViSl (11.140)
Интегралы \^dx и не инвариантны. Тем не менее, поскольку они
определяются выражениями (11.137) и (11.140), одинаковыми во всех системах координат, соотношения (11.138) и (11.139) имеют ковариантный смысл.
В отличие от J1 и J выражения У и § не содержат вторых производных от
метрического тензора, они являются функциями лишь gik и их первых произ-
водных
gik-dg^ldx1. (11.141)
Так как Sgikl - OdgitIdx1, то очевидно, что
б У dx = ^ (Sgili 0 Vfdgik + Sgikl d С Idgikl) dx =
= ^ I OVldgilt- d (d? Idgik^dx1 j Sgilt dx. (11.142)
Аналогично
б^§с/лг —^ [d$QIOgik—d(dS2Idgikl)!dxl\ Sgikdx. (11.143)
Поскольку выражения (1 1.338) и (11.142) для S J S dx должны быть равны при любой Sgik внутрилроизвольпой области S3 , в каждой точке мы должны иметь
Y(1S) [RiK —J Rgih)=dVldg^-d(dVldgik)/dx^ (11.144)
Аналогично, сравнивая (11.139) и (11.143), получаем
Y(zrF) Mik = d SQldgik-d(d %Idg[kt)ldxt. (11.145)
Используя этот метод, рассматривали gik, glki как независимые, пренебрегая, таким образом, соотношениями симметрии gik = gkl, g\ki = gk,\. Такая процедура допустима, лишь бы только в результате дифференцирования правых частей (11.144) и (11.145) получались величины, симметричные по индексам ? и k. Хотя й и § имеют, вообще говоря, сложные законы преобразования (они являются аффинными тензорными плотностями), ковариантные производные от правых частей (11.144) и (11.145) преобразуются как тензорные плотности.
Если при постоянных gj все переменные gl,c умножить на Я, то величины
giln V(S) И Гй/, как легко видеть из (9.7), (9.4) и (9.77), умножатся на Tr1,
к~- и Я-1 соответственно. Следовательно, величина У будет умножена на %~3,
т. е. S есть однородная функция gik степени (—3). Из теоремы Эйлера следует уравнение
(d Zjdgik) gik = 3 2. (11.146)
Кроме того, У является однородной функцией glj степени 2, поэтому
{д ZIdgtyg*= 2«. (И.
§ 11.9. Комплекс энергии —импульса и законы сохранения энергии и импульса для изолированных систем
147)
В § 10.9 было показано, что сохранение электрического заряда есть следствие ковариантного соотношения div {s‘} = 0. Это связано с тем обстоятельством, что равенство нулю ковариантной дивергенции 4-вектора эквивалентно исчезновению обычной дивергенции от векторной плотности. Последовательно интегрируя по пространственным координатам, приходим к заключению, что полный заряд системы постоянен во времени.
Закон сохранения энергии и импульса в виде (10.223) или в виде
-5 {YF^T^Idx^idgjJdx^VF1!)^1^ = ^ (11.148)
в общем случае не эквивалентен, однако, исчезновению обычной дивергенции, и интегрирование по пространственным координатам не приводит в этом случае к сохранению соответствующих величин. Только в случае стационарной системы, рассмотренной в§ 10.8, правая часть (11.148) исчезает при і =4, и интегрирование по пространственным координатам приводит к интегралу движения, который может быть интерпретирован как полная энергия. Неисчезающий член в (11.148) свидетельствует, что система не является вполне замкнутой. Этот член аналогичен плотности внешней 4-силы, действующей на незамкнутую систему специальной теории относительности (гл. 7). В случае электромагнитных сил с помощью уравнений Максвелла можно записать плотность 4-силы в виде дивергенции тензора энергии — импульса электромагнитного поля. Аналогично, используя уравнения поля (11.12), член
