Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
В соответствии с (11.110) действительный объем сферы больше, чем 4яг^/3; с другой стороны, j-і0 есть плотность массы, измеренная в локально инерциальной системе, и отличается от плотности, измеренной в используемой здесь системе координат. В § 11.11 мы покажем, что величина M точно равна полной
энергии системы, деленной на с2. Во всяком случае, различие между действи-
тельным V1 из (11.110) и 4яг®/3 мало, и во всех астрономических расчетах не учитывается. Для Солнца, например,
= 1,4.10» кгм~3; гг = 6,95-10® м, (11.113)
следовательно,
Я = 3,5Л10и я;
rJR « 2-Ю-3; (11.114)
(V1—4тег|/3)/(4лхг|/3) « 10-«. .
Это значит, что различие между I1 из (11.109) и радиальной координатой /¦j слишком мало, чтобы быть обнаруженным в астрономических измерениях. Видно также, что условие гг > г0 = а (условие применимости внешнего решения Шварцшильда) заведомо выполняется. Из (11.111) имеем aIr1 = r\!R2^ « IO-6 •< 1. Как и в случае пустого пространства, можно ввести изотропные координаты. Для произвольных функций а (г), Ь (г) из (11.63) введем преобразование r' — г' (г), удовлетворяющее дифференциальному уравнению
dr'Ir' = Ya(r) dr/r, (11.115)
общее решение которого есть
г' =Cexp {Va(r) dr/r)j , (11.116)
где С — произвольная константа. Тогда линейный элемент приобретает вид
ds2 = -^2 {dr'2 + г'2 (dQ~-(- sin2 0 с(ф2)} — be2dt2 =
= —„ (dx2 + dy2 + dz2) — be2 dt2, (11.117)
r' ¦
где (x, у, z) взяты из (11.91).
В случае а (г) из (11.101) получаем
r' = CrlR[l + f l — i*lR2 ]’, r = r'2CRI(C + r'2), (11.118)
и линейный элемент внутри несжимаемой жидкости приводится к виду ds2 = 4C2 R2 (dx2 + dy2 + dz2)I(C2 + г'2)*—
-[А-В (С"—г,2)/(С2 + г'2)]2с2di2. (11.119)
Константу С можно определить из условий сшивки (11.118) и (11.85) на границе жидкости.
Решение Шварцшильда является одним из немногих точных решений уравнений гравитационного поля, нашедших широкое применение в астрономии.
320
Рейсснер [203] и Вейль [273, 276] решили задачу нахождения гравитационного поля, порождаемого электромагнитной энергией заряженной частицы. Они получили линейный элемент в виде
ds2 = (l —а/г + Xe2Jr2)-1 dr2 + г2 (d№ + sin2 0 dip2) —
— (I—ajr-f ке21г2) с2dt2. (11.120)
Отношение двух величин, зависящих от заряда и массы соответственно, с учетом (11.88) есть
жг1га --= Ane2IrMc2."' (11.121)
В случае электрона эти два члена становятся одинаковыми по порядку величины на расстояниях, соответствующих классическому радиусу электрона а — е2!Мс2. Однако оба эти члена дают пренебрежимо малый вклад во взаимодействие электронов по сравнению с кулоновскими силами.
Другие точные решения уравнений поля для случая произвольного цилиндрически симметричного распределения материи были получены Вейлем [273, 2751 и Леви-Чивита [141—143]. В последнее время целый класс точных решений уравнений Эйнштейна был получен А. 3. Петровым [194], Элерсом и Кунд-том [64], Таубом [250—253] и другими.
§ 11.8. Вариационный принцип для гравитационного поля
Пусть Q — произвольная область 4-пространства. Рассмотрим четырехмерный инвариантный интеграл
J1- § RdQ- ^RikgikYi—g)dx1dx2dx3dxi, (11.122)
h й
где R = Rihgik есть скаляр кривизны и
Rik - д T1iiI dx^-d T1ikIdxi + Tril T1kr-Trik T1rl (11.123)
есть свернутый тензор кривизны. Подынтегральное выражение в (11.122) есть алгебраическая функция gih и их производных. Поскольку контравариантные компоненты gik однозначно определяются через gih, подынтегральное выражение можно представить и как функцию gik и их производных. Рассмотрим вариацию Sglk и предположим, что она произвольна внутри области Q, но исчезает вместе со своими производными на границе Я. Тогда соответствующая вариация J1 будет
^l = ImkY (S) glkdx+ $ Я* б dx. (11.124)
Варьируя (11.123), получаем
sRik= ObT1llIdxk-дьті/дх1+ аг;гг1 +
+ Th ST1kr - STh T1rl - Trir ST1rr (11.125)
В то время как символы Кристоффеля П/ преобразуются по закону (9.80), который отличается от закона преобразования тензоров, вариация Srtki, которая является не чем иным, как разностью между двумя символами Кристоффеля в одной и той же точке, преобразуется как тензор. Следовательно, ковариантная произвольная
(SrL);« = дбгЬ/дх* + Timr 6П/ - Trkm STirl - Trlm ST1kr (11.126)
также будет тензором. Это дает возможность записать тензор SRik в простой форме
SRih = (ST1ii)ik-(ST1ik).,,- (11.127)
И Зак. ))74 321
Это тензорное соотношение можно легко проверить, если ввести геодезическую систему координат, в которой Fjw = 0, так как в этой системе правые части выражений (11.125) и (11.127) становятся тождественными.
Умножив (11.127) на У(—g)gik, получим с помощью (9.191), (9.192) и (9.196)
YFT) Bik Mik = V(z7I) Iiglk 8Г',); А- (g* 6Г/А):;} =
= V(^I) (Iі A-^br1ik)., , = [V(izI) (^бг^-^бгі*)} •
Следовательно, подынтегральное выражение в первом интеграле (11.124) имеет форму обычной дивергенции, и интеграл можно преобразовать к поверхностному по Q. Поскольку на поверхности Q вариации Sglfe и их первые производные исчезают, первый интеграл в (11.124) также равен нулю.
