Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
e?v = S11V+ar^1 *'V/P"( р' —a);' gii = —(1-a/p'); g'=-1.
§ 11.7. Внутреннее решение Шварцшильда для идеальной жидкости
Тензор энергии — импульса идеальной жидкости дан в (10.232) и имеет вид Tf = + p/с2) Ui W + р 6*. (11.94)
Исходя из уравнений поля (11.13)
Mki = -KTki (11.95)
и выражения (11.69) для тензора Mf, получаем, что статическое сферически симметричное поле типа (11.63) возможно, только если скорость материи равна нулю и если собственная плотность массы ^i0 и давление р являются функ-
317
днями только от г. Поскольку мы используем сопутствующую систему коорди* нат, то в соответствии с (10.253) имеем
?/‘• = (0, О, О, dVb)\ ?/,=gift?/* = (0, 0,0, —суТ); '
T • = - (|> + p/с2) с2 6и + р 8?; (11.96)
A0 — м-0(г); Ь=Р(г).
Используя теперь закон сохранения
Tki,k = { IIVW) д (УііГ тЧ)/дхь~п Tsr= О, (11.97)
для і = 1 получаем
(1/УІІГ) HVWtildr + TU (jl°с2 + р) — г' r р=о,
или, принимая во внимание (11.68) и (9.128),
dp/dr + ([I0 с2 + р) b'/2b — dp/dr-{-[(іI0 + p/c2J/( I + 2 %l<?)]dildr = 0. (11.98)
Это уравнение, тождественное уравнению (в), с. 298 дает зависимость давления от скалярного гравитационного потенциала в равновесной жидкости, находящейся в собственном гравитационном поле (жидкость удерживается в равновесии собственным гравитационным полем).
Уравнения поля (11.95) снова сводятся лишь к двум независимым уравнениям, из которых мы можем выбрать
Afi = -XTJ; Mii = -KTj. (11.99)
Остальные уразнения из (11.95) оказываются следствиями (11.99), если учесть (11.98). Из (11.69а,б), (11.96) и (11.99) имеем
b'labr—(I — I /0)/7-2+?, = хр;' (11.100а)
a7a*r + (I — 11 a) I г2— X = хіі<> с2. (11.1006)
Уравнения (11.98), (11.100) совместно с уравнением состояния материи, связывающим р и р.0, определяют внутреннее состояние материи и гравитационное поле жидкости.
Для простоты примем, что жидкость практически несжимаема. Тогда собственная плотность массы остается постоянной, и решение (11.1006) можно получить из решения (11.78) уравнения (11.706) заменой “к -+¦ А, + %[х°с2. Поскольку наше решение должно быть регулярно при г-*- 0, константа интегрирования а в (11.78) должна быть приравнена нулю. Тогда
a = [I — (A.+ XfA0с2) т^/3]-1 —(1 — г/R2)-1, (11.101)
где
#2 = (А + XfI0 с2)/3. (11.102)
Учитывая, что jx° = const, интегрируем (11.98) и сразу же получаем, что
(JX0 с2 + р) Yb = const.
Складывая уравнения (11.100а) , (11.1006) и умножая на Yb, имеем
b'/ a Ybr + а’ Yb /°2г = const.
Подставляя в это выражение (11.101), получаем
Yb +R2^l-r2/R2)/r\{d Ybldr)= А, (11.103)
где А = const. Если ПОЛОЖИТЬ у = Yb и ввести вместо г новую переменную 318
X — (I — rVR2)1?*, то (11.103) можно преобразовать в уравнение
у— xdy/dx = А, (11.104)
решая которое, получаем
у = А — Bx,
где В — константа интегрирования. Следовательно,
Ъ = у2 = \А — В ]/1 — г2/R2 }\ (11.105)
Наконец, используя (11.101) и (11.105) совместно с (11.100а), получаем
о
следующее выражение для р, измеряемого в локально инерциальной системе:
v.p = {ЗВ YI -'iIR- —А)/R2 {A—BVl—r/R1 } + %. (11.106)
Линейный элемент в случае внутреннего решения Шварцшильда имеет вид [222]
ds2= dr21(1 —г2 IR2) + г2 (d02-f sin2 0 Jfp2) —
— \А—В YI — r2/R2 }2C2A2. (11-.107)
Пространственная геометрия определяется линейным элементом
da2 = dr2!(I — г2/R2) -f г2 (dQ2 + sin2 0 Ap2). (11.108)
Следовательно, геометрия на поверхности г = гг — const такая же, как и на сфере радиуса T1 в евклидовом пространстве, но г, не есть расстояние до г = 0, измеряемое стандартным стержнем, так как расстояние теперь определяется по формуле
Гг
h= ( —-dr~ ..... =Sarcsin- =
J у і — г1/R- Я
= ^{1+Іітї+І{тї+-У <11Л09>
Объем этой сферы есть
Гх Jt 2я п
V1 = Г Г Г [ у drdQ <іф = Г Г Г —r—-11I-- dr dQ <іф = 4t —- dr (11.110) JJJ JJJl/l-r*//?* J Уі_г7я*
T. e.
4я R3
V1 =--------- arcsm
2 R
= - JL/Zl
i RV Rf J 3 I io \ R
Рассмотрим заполненное жидкостью пространство внутри сферы г = гг ср.0 = const. Для г < T1 имеем тогда решение (11.107), в то время как для г> г1 должно быть справедливо внешнее решение Шварцшильда (11.82). Учитывая это, можно определить константы А и В, так как на г = T1 решения (11.107) и (11.82) должны совпадать. Далее, р на поверхности сферы должно быть равно нулю. Пренебрежем А.-членом, который внутри Солнечной системы приводит к пренебрежимо малым эффектам, и условие сшивания запишем в виде системы уравнений
і —— = 1 — ^7 = Ia-B yr=Tf7Fj2;
rL R-
3В УI ~r\/R2—A = 0; R2 = 3/х?° с2; решение которой есть
Л= -jVl — r\!R2 ; B= 1/2; R2 = 3/x^c2; a = r\/R2 = KC2H0 г\/3 = (2 к\^/с2) ¦ 4 nrf/3.
(11.111)
319
Сравнение с (11.88) показывает, что гравитационное поле, создаваемое сферическим распределением жидкости, на больших расстояниях такое же, как и поле источника с массой
Л1 = (4я/3)г5?0, (11.112)
т. е. на больших расстояниях совпадает с полем ньютоновской жидкости, заполняющей с постоянной плотностью сферу радиуса гх в евклидовом пространстве.