Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мёллер К. -> "Теория относительности" -> 154

Теория относительности - Мёллер К.

Мёллер К. Теория относительности — М.: Атомиздат, 1975. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaotnositelnosti1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 148 149 150 151 152 153 < 154 > 155 156 157 158 159 160 .. 198 >> Следующая


e?v = S11V+ar^1 *'V/P"( р' —a);' gii = —(1-a/p'); g'=-1.

§ 11.7. Внутреннее решение Шварцшильда для идеальной жидкости

Тензор энергии — импульса идеальной жидкости дан в (10.232) и имеет вид Tf = + p/с2) Ui W + р 6*. (11.94)

Исходя из уравнений поля (11.13)

Mki = -KTki (11.95)

и выражения (11.69) для тензора Mf, получаем, что статическое сферически симметричное поле типа (11.63) возможно, только если скорость материи равна нулю и если собственная плотность массы ^i0 и давление р являются функ-

317
днями только от г. Поскольку мы используем сопутствующую систему коорди* нат, то в соответствии с (10.253) имеем

?/‘• = (0, О, О, dVb)\ ?/,=gift?/* = (0, 0,0, —суТ); '

T • = - (|> + p/с2) с2 6и + р 8?; (11.96)

A0 — м-0(г); Ь=Р(г).

Используя теперь закон сохранения

Tki,k = { IIVW) д (УііГ тЧ)/дхь~п Tsr= О, (11.97)

для і = 1 получаем

(1/УІІГ) HVWtildr + TU (jl°с2 + р) — г' r р=о,

или, принимая во внимание (11.68) и (9.128),

dp/dr + ([I0 с2 + р) b'/2b — dp/dr-{-[(іI0 + p/c2J/( I + 2 %l<?)]dildr = 0. (11.98)

Это уравнение, тождественное уравнению (в), с. 298 дает зависимость давления от скалярного гравитационного потенциала в равновесной жидкости, находящейся в собственном гравитационном поле (жидкость удерживается в равновесии собственным гравитационным полем).

Уравнения поля (11.95) снова сводятся лишь к двум независимым уравнениям, из которых мы можем выбрать

Afi = -XTJ; Mii = -KTj. (11.99)

Остальные уразнения из (11.95) оказываются следствиями (11.99), если учесть (11.98). Из (11.69а,б), (11.96) и (11.99) имеем

b'labr—(I — I /0)/7-2+?, = хр;' (11.100а)

a7a*r + (I — 11 a) I г2— X = хіі<> с2. (11.1006)

Уравнения (11.98), (11.100) совместно с уравнением состояния материи, связывающим р и р.0, определяют внутреннее состояние материи и гравитационное поле жидкости.

Для простоты примем, что жидкость практически несжимаема. Тогда собственная плотность массы остается постоянной, и решение (11.1006) можно получить из решения (11.78) уравнения (11.706) заменой “к -+¦ А, + %[х°с2. Поскольку наше решение должно быть регулярно при г-*- 0, константа интегрирования а в (11.78) должна быть приравнена нулю. Тогда

a = [I — (A.+ XfA0с2) т^/3]-1 —(1 — г/R2)-1, (11.101)

где

#2 = (А + XfI0 с2)/3. (11.102)

Учитывая, что jx° = const, интегрируем (11.98) и сразу же получаем, что

(JX0 с2 + р) Yb = const.

Складывая уравнения (11.100а) , (11.1006) и умножая на Yb, имеем

b'/ a Ybr + а’ Yb /°2г = const.

Подставляя в это выражение (11.101), получаем

Yb +R2^l-r2/R2)/r\{d Ybldr)= А, (11.103)

где А = const. Если ПОЛОЖИТЬ у = Yb и ввести вместо г новую переменную 318
X — (I — rVR2)1?*, то (11.103) можно преобразовать в уравнение

у— xdy/dx = А, (11.104)

решая которое, получаем

у = А — Bx,

где В — константа интегрирования. Следовательно,

Ъ = у2 = \А — В ]/1 — г2/R2 }\ (11.105)

Наконец, используя (11.101) и (11.105) совместно с (11.100а), получаем

о

следующее выражение для р, измеряемого в локально инерциальной системе:

v.p = {ЗВ YI -'iIR- —А)/R2 {A—BVl—r/R1 } + %. (11.106)

Линейный элемент в случае внутреннего решения Шварцшильда имеет вид [222]

ds2= dr21(1 —г2 IR2) + г2 (d02-f sin2 0 Jfp2) —

— \А—В YI — r2/R2 }2C2A2. (11-.107)

Пространственная геометрия определяется линейным элементом

da2 = dr2!(I — г2/R2) -f г2 (dQ2 + sin2 0 Ap2). (11.108)

Следовательно, геометрия на поверхности г = гг — const такая же, как и на сфере радиуса T1 в евклидовом пространстве, но г, не есть расстояние до г = 0, измеряемое стандартным стержнем, так как расстояние теперь определяется по формуле

Гг

h= ( —-dr~ ..... =Sarcsin- =

J у і — г1/R- Я

= ^{1+Іітї+І{тї+-У <11Л09>

Объем этой сферы есть

Гх Jt 2я п

V1 = Г Г Г [ у drdQ <іф = Г Г Г —r—-11I-- dr dQ <іф = 4t —- dr (11.110) JJJ JJJl/l-r*//?* J Уі_г7я*

T. e.

4я R3

V1 =--------- arcsm

2 R

= - JL/Zl

i RV Rf J 3 I io \ R

Рассмотрим заполненное жидкостью пространство внутри сферы г = гг ср.0 = const. Для г < T1 имеем тогда решение (11.107), в то время как для г> г1 должно быть справедливо внешнее решение Шварцшильда (11.82). Учитывая это, можно определить константы А и В, так как на г = T1 решения (11.107) и (11.82) должны совпадать. Далее, р на поверхности сферы должно быть равно нулю. Пренебрежем А.-членом, который внутри Солнечной системы приводит к пренебрежимо малым эффектам, и условие сшивания запишем в виде системы уравнений

і —— = 1 — ^7 = Ia-B yr=Tf7Fj2;

rL R-

3В УI ~r\/R2—A = 0; R2 = 3/х?° с2; решение которой есть

Л= -jVl — r\!R2 ; B= 1/2; R2 = 3/x^c2; a = r\/R2 = KC2H0 г\/3 = (2 к\^/с2) ¦ 4 nrf/3.

(11.111)

319
Сравнение с (11.88) показывает, что гравитационное поле, создаваемое сферическим распределением жидкости, на больших расстояниях такое же, как и поле источника с массой

Л1 = (4я/3)г5?0, (11.112)

т. е. на больших расстояниях совпадает с полем ньютоновской жидкости, заполняющей с постоянной плотностью сферу радиуса гх в евклидовом пространстве.
Предыдущая << 1 .. 148 149 150 151 152 153 < 154 > 155 156 157 158 159 160 .. 198 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed