Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
§ 11.5. Статические системы со сферической симметрией
Если система статическая и сферически симметричная, то функции а и Ь не зависят от t. В этом случае компоненты тензора Mift, определяемые (11.4), легко вычисляются. Полагая Xі = (г, 0, ср, ct), имеем
Остальные компоненты равны нулю. Координатная система ортогональна; неисчезающие компоненты gik следующие:
г = (*2+г/2 + г2)1/2, dr, dx2 + dif + dz2 = dr2, + г2 ав2 -)- г2 sin2 0 dcp2, х dx + у dy + г dz = г dr, dt и t.
(11.58)
ds2 = F (г, t) dг2 + G (г, t) (г2 dQ2 + г2 sin2 0 dq>2) + + 2H (г, t) drdt-L-L (г, t) dt2,
(11.59)
г'2 = r2G (г, f),
(11.60)
V = f (Л t),
(11.62)
ds2 —a dr2r2(cf02 + sin20 dcp2) — be2 dt2,
(11.63)
где
a = a(r,t); b = b(t\ і) = I + 2%/с2
(11.64)
?іі = в(г); g22 = r2; g33 = r2 Sin2Q; g44=—b. (11.65)
g11 =Hgu = Ha; g22 Ig2, = Цг2; &33= Hg33=Hr2Sin2Q; gli = Hgii= — 1/6
(11.66)
а символы Кристоффеля (9.77) вычисляются по формуле
Г*г = (HZgii) фік OgiiJdx1 + Ьи dgi(ldxk — 8kl dgkkldxl) (11.67)
Поскольку gik не зависит от ф и Xі, то не равны нулю лишь символы Т\х=а'/2а; Tx22 = —r/а; Г’3 = — r sin29/a:; T\l = b'/2a; '
T2li = Ijr; T233 = —sin0 cos 6; (11.68)
Г?3 = 1/г; rf3 = ctg0; r*t = b'l2b J
(штрихи означают дифференцирование по г).
Используя (11.68) в (9.242), вычислим величины Rih н R= Rti. И наконец, тензор Мій, а также Mki получаем из (11.4). Непосредственные выкладки показывают, что все недиагональные элементы этого тензора равны нулю, а четыре диагональные компоненты М\, М\, М% и Ml являются функциями только от
г. Из трансформационных свойств компонент тензора относительно вращений
следует, что Ml и Ml равны. Однако согласно тождеству (11.11) даже три величины Mi, Mi = Ml и Mt не являются независимыми. Как легко видеть, в случае статической системы со сферической симметрией система уравнений (11.11) сводится к одному уравнению, с помощью которого компонента М\ =
— М\ может быть выражена через компоненты М], Mt и через dM]/dr. Непосредственные вычисления дают
М\ = — b'/abr+(\/r2)(\ — l/a) — l; (11.69а)
М\ = а’ /а2г + {\/гг){\ — \/а) — К; (11.696)
M22 = Ml = —{\/2а){{Ь'/ЬУ— a'b’/2ab +
-h{b'lb)2/2 + b'/br—a'/ar} — X. (П.69в)
Эти явные выражения для компонент тензора Mki согласуются с тождествами (11.11).
§ 11.6. Внешнее решение Шварцшильда
В пустом пространстве, окружающем материальную частицу с массой Mt Tki = 0, следовательно, уравнения поля (11.13) должны иметь вид
— b'/abr—(I /г2) (1 — 1 /а) — К = 0; (11 -70а)
a'/a2r + (1 /г2) (I — l/a)— А. = 0; (11.706)
~(l/2a){(b'/by — a'b'/2ab + (b'/b)2/2 + b'/br—a'/ar} — % = 0, (11.70в)
причем последнее уравнение должно быть следствием первых двух. Из (11.70а)
и (11.706) легко получаем
(а b -'г ab')!a2br = 0,
т. е.
(аЬ)' = 0 (11.71)
или
ab = const. (11.72)
Полагая
У = I Ia, (11.73)
из (11.706) находим после умножения на (—г2)
ГУ' jT У — I + Xr2 = 0 (11.74)
или
Il >> (11.75)
После интегрирования имеем
ry = г — Kr3/3 — а, (11.76)
(а — постоянная интегрирования) или
у = 1 — а,/г — ЯгУЗ. (11.77)
314
Из (11.73) и (11.77) получаем следующее решение уравнения (11.706):
а = (1 — а /г—Xr2/З)-1. (11.78)
Пространственный линейный элемент, который в нашем случае равен пространственной части (11.63), имеет вид
da2 = dr2 (I — а/г —Xr2ZSy1 + г2 (dB2 + sin2 0 dq>2). (11.79)
Если пренебречь малым Л-членом, то da2 в пределе больших г будет стремиться к обычному линейному элементу евклидова пространства в полярных координатах. Интересно, что условие сферической симметрии оказывается достаточным для получения предельного перехода к евклидову пространству без использования явных граничных условий на бесконечности. Этот результат, конечно, отчасти связан с нормировкой (11.60) переменной г, которая уже выбрана такой, что геометрия на г = const, такая же, как и на сфере евклидова пространства радиусом г. В истинном пространстве (11.79) переменная г уже не является радиальным расстоянием, так как расстояние между точками (rlt 0, ф) и (г2, б, ф) теперь определяется по формуле
Гг
/ = $(!— air—Xr2IZ)-'!* dr. (11.80)
T1
Наблюдатель, находящийся на большом расстоянии от центрального тела, будет пытаться построить картину поля в евклидовом пространстве. В этой картине г играет роль расстояния от центра, а расстояние /, измеряемое стандартными измерительными стержнями, уже не представляет ценности для астрономии. Поэтому координаты (г, 0, ф) можно считать обычными полярными координатами, которые используются в небесной механике. В соответствии с (11.72) имеем
b = const/а = const - (1 — а/г—Xr2і3). (11.81)
Простым изменением масштаба времени можно выбрать константу равной единице и получить в окончательной форме внешнее решение Шварцшильда [221]:
ds2 = dr2/( 1 — а/г—аг2/3) + г2 (d02 + sin2 0 dip2) —
— (I —а/г—Xa2IZ) с2 dt2, (11.82)
или, если пренебречь ^-членом, который становится существенным лишь при очень больших г,
ds2 = drl/( 1 — а/г) + г2 (d%2 -f sin2 0 dy2) — (I — а/г) с2 dt2. (11.83)
