Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
(11.46)
u = ct — R.
— I
Вычислим Oik (и, n) в «волновой зоие» системы, если и Х~Х?*(дГг& (хл, и)[ди)
есть величина порядка «длины волны» излучения.
Используя (11.32), получаем
дТ^(х'х, u)/dx'y + dfj (x,v, и)/ди = 0, (11.47)
откуда следует, что 4-импульс нулевого порядка для системы
Pi = (Iyc)J Т\ (x'v, n)d(3> Jt'
не зависит от времени, т. е. dPi/du — 0. Соответствующим преобразованием Лоренца можно перейти к такой системе, в которой P1 имеет вид
P0 = -Hi0 сЬн; т°=— Р°1с=Н«/с. (11.48)
Пусть
D (u) = (l/c2) С Tii (х', и) *,|г,2(3) х'; )
* > (11.49)
Dnv(U)= (Ifci) (х\ i^x’V x'vd(3) х' J
есть моменты первого и второго порядка нашей системы. Тогда, учитывая (11.47), покажем, что в системе (11.48)
D(l = c(dfdu) (Dm, (11)) = ^^ = 0.
В волновой зоне интеграл (11.46) может быть выражен через п-х'. Показать, что в первом приближении величины aDt (и) определяются формулами
Ofiv=Dfjiv/2; ац4 = —D(xv nv/2; )
о J (11.0(J)
aii=mci-5rDVynv-nv/2, J
где точки означают дифференцирование
d/dt = cd/du.
311
§ 11.4. Эквивалентные системы координат.
Сферическая симметрия
Рассмотрим произвольную систему координат (Xі) IiMeTpiiKygf fe = gik(xl). Введем новую систему координат преобразованием
х'‘ = хп(х1), (11.51)
тогда преобразованные компоненты метрического тензора
gik (х'г) = (дхЧдхп) • (дхт!дх'к) glm (xs) (11.52)
уже не будут теми же функциями (х'О, что и glh от переменных (х1), т. е. метрический тензор не является форм-инвариантной функцией координат.
Системы координат (х1) и (я'г), в которых метрический тензор является форм-инвариантной функцией пространственно-временных координат при преобразованиях (11.51), можно назвать эквивалентными, поскольку все физические процессы будут протекать в них совершенно одинаково. Существование эквивалентных систем координат налагает определенные условия на гравитационное поле, так как функции gih (х1) должны, очевидно, удовлетворять функциональным уравнениям
gih (x'r (*s)) = (дхЧдх'0 (OxmIdxf*) glm (Xs). (11.53)
В некоторых случаях gik оказываются инвариантными относительно целой группы преобразований. Это имеет место, например, для всех устранимых гравитационных полей. Введем псевдодекартовы координаты Xі преобразованиями
X‘=f<(xl), (11.54)
тогда
ds2 = gih dx1 dxk = т)г?1 dXl dXk. (11.55)
Далее, выполняя преобразование Лоренца
Xrt = Aik Xk (11.56)
и вводя новые пространственно-временные координаты (х'1), преобразованием
X'V)=fi(x’‘) (11.57)
с теми же функциями, что и в (11.54), получаем
gih dx? dxk = T);ft dXl dXh = т)ій dXn dX'k = g'k dx'1 dx'k,
a поскольку r\ih ЯВЛЯЮТСЯ ПОСТОЯННЫМИ, TO glh должны быть теми же функциями от (Xtl), что и gik от (х1). Преобразование х/? = х’’: (х1), определенное в
(11.54), (11.56) и (11.57), которое может быть названо обобщенным преобразованием Лоренца, связывает, следовательно, две эквивалентные системы координат, и компоненты gih метрического тензора устранимого гравитационного
поля оказываются форм-инвариантными относительно группы обобщенных преобразований Лоренца.
В случае неустранимого гравитационного поля, вообще говоря, невозможно ввести такие пространственно-временные координаты Xі, чтобы gik оказались форм-инвариантными относительно группы четырехмерных ортогональных преобразований,'' однако в некоторых частных, но важных случаях гравитационные потенциалы оказываются форм-инвариантными относительно подгруппы пространственных ортогональных преобразований. Такие системы можно совершенно естественно назвать сферически симметричными. Положив Xі —
— (х, ct) = (x,y,z,ct), получим, чтоgik инвариантны относительно произвольных ортогональных преобразований трех переменных (х, у, z) при постоянном t. Вообще координаты (х, у, г) не будут декартовы, пространственная геометрия не будет евклидовой, тем не менее линейный элемент ds2, = gUldx‘dxk может
312
быть в этом случае функцией только от хорошо установленных форм-инвариантов группы трехмерных вращений евклидова пространства. Эти инварианты таковы:
Поскольку линейный элемент есть квадратичная форма в дифференциалах, то наиболее общее выражение для ds2 в системе со сферической симметрией имеет вид
где F, G, Н, L являются функциями только от г и і. •
Это выражение может быть далее упрощено при надлежащем выборе координат. Вводя новую переменную г' преобразованием
получаем следующее выражение линейного элемента в новых переменных: ds2 = M (r', t) dr'2 + r'2 (d02 + sin2 0 dcp2) + 2 Nf (ґ, t) dr'dt+ 0 (r', t)dt2. (11.61)
Величины COuv из (8.135) в нашем случае, очевидно, равны нулю. Следовательно, простым преобразованием координатного времени можно обратить в нуль векторные потенциалы, и, поскольку N (г', t) не зависит от 8 и ф, этого можно достигнуть преобразованием вида
которое не действует на остальные члены в (11.61). Опуская штрихи, запишем теперь линейный элемент в новой, стандартной форме:
являются функциями /• и / такими, что с учетом (8.52) они остаются положительными при всех г и t.
