Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
хс2 = 8nk/c2= 1,87-IO-26 т, кг-1.
(11.24)
дс'1 = Xi + Iі,
(11.25)
где
307
зсегда возможно с помощью преобразования типа (11.25) убедиться, что удовлетворяет четырем уравнениям [14]
dx-Idxk = 0, (11.28)
которые в случае слабого поля тождественны условиям де Дондера (9.280). Тогда для Rih и R имеем
Rik — ? hikl2; R = Ri=Hh/2 (11.29)
и уравнения поля (11.23) сводим к виду
Utik^ -ЇК Г гіг, (11.30)
где ? — релятивистский оператор Д’Аламбера (СТО).
Эти уравнения совпадают по форме с уравнениями (5.26) для электромагнитных потенциалов, поэтому и решения (11.30), исчезающие на бесконечности, должны быть аналогичны «запаздывающим» потенциалам (5.46)
Хгь(*“. О = (2х/4я) J (?¦ (a-'», i—rlc)lr) dx'1 dx'1 dx'\ (11.31)
где г = |/{ 2 (г»-*'*)* } •
[X= 1.2,3
Если теперь мы сможем убедиться, что функции, определенные в (11.31), удовлетворяют также условиям (11.28), то их можно считать приближенным решением уравнений поля (11.23). Ho такая проверка должна быть совершенно аналогична проверке справедливости калибровки Лоренца для электромагнитных потенциалов. А эта последняя основана на законе сохранения электрического заряда [см. (5.41)]. В нашем случае справедливость (11.28) следует из закона сохранения энергии и импульса, который в приближении слабого поля имеет вид
дт і Idxk = O. (11.32)
Из (11.31) можно найти также явный вид величины HiU- Сначала из (11.27) находим
X1I = H11-2h = — h\ Hik = Xik + 4ikhf2 = Xik-Ч/*ХІ/2, (11.33)
а затем с учетом (11.31) получим
XlL = (Kl2n)\f’dV X'Ir
и
и, „= (1/2)rlnf’)lr}d<*>x'. (11.34)
где штрих в Tik и T' означает, что эти величины определены в точке (х »*) эле-
мента объема d3 х’ = ёх’Чх’Чх’3 в запаздывающее время (t — г I с).
Запаздывающие потенциалы (11.31), исчезающие на бесконечности, не единственные решения уравнений (11.30). Опережающие потенциалы или комбинация тех и других, например
Xik = (Y-'^ § [[TikWii, f—i-lc)JrTih(x'l-'‘, t + ric)]lr}dsx’t (11.31')
также являются приемлемыми решениями (11.30), по крайней мере с математической точки зрения. Соответствующие решения (см. § 5.5) обычно в электродинамике отбрасываются из соображений причинности. В самом деле, хорошо известно, что электромагнитные сигналы распространяются с конечной скоростью с, и в заданной точке пространства в данный момент времени поле может определяться только тем источником, который излучил его в момент времени (t — r/с). В случае гравитационного поля не так очевидно, .что опережающие потенциалы или смешанные потенциалы типа (11.31) должны быть автоматически отброшены. В этом отношении положение станет более ясным лишь тогда, ког-
303
да будут экспериментально обнаружены переносящие энергию гравитационные волны, испускаемые и поглощаемые материальными системами. Во всяком случае, для стационарных систем гравитационное поле не зависит от того, вычислено ли оно по формуле (11.31) или по формуле (11.31').
§ 11.3. Простейшие случаи применения линейных уравнений слабого поля
Рассмотрим сначала статическое распределение материи, когда плотность массы [х° = (я, у, г) является заданной функцией пространственных коор-
динат х* = (х, у, г). В этом случае в соответствии с (11.21) и (11.34) имеем
и для гравитационного потенциала, принимая во внимание (11.24), получаем обычное выражение ньютоновской теории
показывает, что геометрия лишь приближается к евклидовой, т. е. координаты (х у г) здесь не точно совпадают с декартовыми. Никаким преобразованием пространственных координат их нельзя свести к декартовым точно. Ho отклонения от евклидовой геометрии в большинстве случаев слишком малы, чтобы их можно было измерить. На поверхности Земли, например, 2%/с2 ^ IO-9.
Для системы материальных частиц с массами М\, Ml, находящихся в точках X1, X2, ... соответственно, из (11.36) имеем
Гравитационный потенциал и линейный элемент в случае единичной час* тицы, как легко видеть, обладают сферической симметрией, а именно:
Аналогично можно рассмотреть с помощью решений линеаризованных уравнений Эйнштейна (11.34) случай стационарного движения материи. Тирринг и Ленз [2571 подсчитали, например, влияние вращения астрономического тела на создаваемое ими гравитационное поле, а следовательно, и на движение спутников данного тела. Эффекты оказались, однако, слишком малыми 1233], и мы не рассматриваем их здесь.
Ho есть один эффект подобного типа, который хотя и мал, однако имеет большое теоретическое значение, поскольку он проливает свет на природу и происхождение центробежных и кориолисовых сил, возникающих во вращающихся системах отсчета S. В соответствии с идеей Эйнштейна, лежащей в основе общей теории относительности (ср. с § 8.1), эти силы являются гравитационными силами, обязанными вращению'удаленных небесных тел относитель-
I
Н\Х1 ” Oi
Ли* = (W2Jin) § (х° (x'y'z') dx'dy'dz' 6jAv/( IX—x' |) =IiiiSliv
(11.35)
X = —(c2/2) A44 - (X') dV'lI x—x'|.
(11.36)
Следовательно, линейный элемент имеет вид
ds2 = (hlk + hik) dx‘ dxh = (1 — 2x/c2) (dx2 -f- dy2 + dz2)—
