Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Вместе с уравнениями состояния материи десять уравнений (11.12) достаточны для определения всех неизвестных (при заданном начальном состоянии). В простейшем случае идеальной жидкости Tik дается выражением (10.232), тогда уравнения решаются относительно неизвестных gik, Ui, р,0 и р. Уравне-
о в
ние состояния связывает р,°ир (см. § 6.6) так, что на самом деле только одна из этих переменных оказывается неизвестной. Далее, поскольку все Ui являются функциями компонент скорости и, лишь три компоненты из Ui независимы. Наконец, как было сказано ранее, четыре компоненты gik могут быть заданы надлежащим выбором системы координат, например, гауссовой системы, BKoTopoftgri4=—<5/4. В результате общее число независимых неизвестных величин в десяти уравнениях (11.12) оказывается равным 1+3+6 = 10.
Уравнения поля (11.12) достаточны для полного описания физической системы (при заданных начальных условиях). Это легко можно видеть на примере сопутствующей системы координат, в которой и = 0.В этом случае правая часть (11.12) содержит только одну независимую переменную, скажем р. Выбором соответствующей временной координаты, не нарушающим сопутствующий характер системы отсчета, компоненту g44 можно фиксировать произвольно. Например, можно положить g44 = —1 преобразованием типа (8.120). Девять оставшихся gih совместно с р (или ja°) полностью определяются затем из десяти уравнений (11.12), если заданы начальные условия.
Уравнения поля (11.12) и (11.16) являются нелинейными уравнениями в частных производных относительно gik. В случае слабых гравитационных полей уравнения можно аппроксимировать линейными дифференциальными уравнениями [74]. В этом случае можно ввести такую систему пространственно-временных координат, в которой метрический тензор имеет вид
где Tjift есть постоянный метрический тензор (8.41) или (9.23) в специальной теории относительности, a hik и их первые и вторые производные являются малыми величинами первого порядка.
В нулевом приближении, когда все htk исчезают, система координат ло-ренцева. Произвольное преобразование Лоренца приводит к новой координатной системе типа (11.17). Символы Кристоффеля (9.77), соответствующие (11.17), являются малыми величинами первого порядка, поэтому в тензоре кривизны (9.227), (9.242) можем пренебречь членами, содержащими квадраты компонент символов Кристоффеля. В результате получим
§ 11.2. Линейное приближение слабого поля
Sik — rIik "Ь
(11.17)
дхк дхт
dk3h dhik дх1 dxs
iff д2 Iijk 2 дхг Bxs
т]2 d2 Iijk і
2 дхг dxs
(11.18)
где мы положили
К = гр Л,-.; H = K = Vi^hrs.
(11.19)
306
Рассмотрим теперь случай статического распределения материи. Это значит, что среди систем координат типа (11.17) найдется такая, в которой все hik и компоненты тензора энергии-импульса не зависят от t. Для компоненты Rii из (11.18) имеем
где х — скалярный гравитационный потенциал, определенный в (8.109), а Д — декартова форма оператора Лапласа. Если материя покоится, можно пренебречь малыми добавками упругих напряжений в тензоре энергии — импульса, и в первом приближении получим
Поскольку уравнение Пуассона является хорошей аппроксимацией в случае статических и квазистатических гравитационных полей в пределах Солнечной системы, мы можем заключить, что постоянная X мала, так что в (11.22) член с X должен исчезать при исследовании всех гравитационных явлений в пределах нашей планетной системы. Член с X имеет значение лишь при исследовании космологических проблем, во всех же остальных случаях его можно полагать равным нулю. Тогда уравнения поля (11.12) принимают вид
Из уравнений (11.22) и (11.1) видно, что константа х должна быть связана с гравитационной постоянной k соотношением
Возвращаясь к случаю произвольного слабого поля, прежде всего замечаем, что система координат, соответствующая (11.17) с малыми hik, все еще имеет большую степень произвола. Кроме преобразований Лоренца возможны еще преобразования
где (х1) — функции первого порядка малости. Эти преобразования приводят
к новому метрическому тензору, но сохраняющему вид (11.17). Поскольку левая часть (11.23) составлена из величин первого порядка малости, то же должно быть справедливо и для правой части, а это значит, что в приближении слабого поля величины Rih и Tik можно рассматривать как инварианты относительно преобразований (11.25). Следовательно, компоненты Tih можно при-
а
равнять соответствующим компонентам Tih в лоренцевой метрике Tiift [в (11.21) мы это фактически и сделали].
Выражение (11.18) для Rik можно переписать в форме
Rik-? Аіь/2 —(1/2) [д-(дхіІдх!)/дхЧ-(\/2) Id-(OxtiJdx1)Idxk], (11.26)
преобразованиях пространственно-временных координат. С другой стороны,
^44 (n^v/2) • O2 hu/0xv- Oxv = — Л х/с2,
(11:20)
Tih = Щі A0 U1 Uи = б;4 |1° с2;
T = T1i = ^iUlU1 = Ji0C2;
T44-1 /2 Sii T = T44-1/2 Il44 T = \I0 с212.
(11.21)
Для і = k = 4 из (11.16) находим
А%—Хс2 JT44 = XCi [1°/2.
(11.22)
Rik- gib #/2 = — v.Tik.
(11.23)
