Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мёллер К. -> "Теория относительности" -> 147

Теория относительности - Мёллер К.

Мёллер К. Теория относительности — М.: Атомиздат, 1975. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaotnositelnosti1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 141 142 143 144 145 146 < 147 > 148 149 150 151 152 153 .. 198 >> Следующая


Xі — а, но произвольно в остальном, то получим, что на этой гиперповерхности

gik = gik. Oglkidx'1 = OgikIOx1.

Следовательно, g\k (х’1) должны быть такими же функциями переменных (х'1), что si gin (х1) от (х1). Однако это противоречит (11.8), откуда видно, что зависимость g-* от (х'О в точках, достаточно удаленных от поверхности Xі = а, будет, вообще говоря, отличаться по виду от зависимости между gik и (х1).

Следовательно, если уравнения поля ковариантны, мы должны принять, что величины Mik в левой части уравнений (11.5) и (11.3) связаны четырьмя тождествами. Это значит, что решения gik уравнений поля (11.5) содержат четыре произвольные функции, соответствующие четырем произвольным функциям в преобразованиях (11.7). Это вносит произвол только в наше описание пространства — времени, но не в физическую систему, порождающую гравитационное поле. В самом деле, как ясно из § 9.15, всегда возможно надлежащим выбором пространственно-временных координат обратить четыре функции gu в (—бг4) во всем пространстве — времени. Шесть независимых уравнений, остающихся после введения четырех тождеств относительно Mik, оказываются достаточными для определения остальных шести компонент метрического тензора gih.

Как мы видели в § 10.8, теоремы сохранения энергии и импульса замкнутой материальной системы в произвольной системе координат имеют вид

Tt^diYi {7*} =0. (11.10)

Таким образом, если мы примем, что четыре тождества, включающие компоненты тензора Mih, должны иметь вид

Mkhk = 0, (11.11)

то теорема сохранения для материальных систем окажется следствием уравнений (11.3) точно так же, как сохранение электрического заряда (10.274) следовало из уравнений Максвелла (10.272 б).

Примем поэтому, что дифференциальные операторы Mik в левой части уравнений поля удовлетворяют четырем тождествам (11.11). В соответствии с (9.192) и (9.240) из (11.4) получим

^ = (1/2 + ^)(/??);*.

Положив это выражение тождественно равным нулю, имеем

C1 = —1/2.

304
Тогда, считая сг — —X, где X — универсальная постоянная, приходим к уравнению

Mik s Sifc - (I /2) Rgih-Xgih. (11.4')

Уравнения поля (11.3) должны, следовательно, принять вид

Mih^Rih-Rgih!2—Xgih= —кТік. (11.12)

Это уравнение можно записать в смешанных компонентах:

M^Rhi-Rbkl^-Xbk=-HTr (11.13)

Свертывая (11.13) и замечая, что Rii = R, bk = 4, получаем

#-!-4а, = и7\ (11.14)

где

Г = 71 (11.15).

есть инвариант, полученный свертыванием тензора энергии—импульса Tih. Исключая с помощью (11.14) R, уравнения поля (11.12) запишем в новой форме:

Rik+ Xg Ih= —х (Т I'd — TgifJ 2). (11.16)

Дивергенция тензора в левой части уравнения (11.13) тождественно равна нулю, поэтому законы сохранения (10.223) оказываются следствиями уравнений гравитационного поля. Это замечательная особенность теории Эйнштейна. Как было показано в § 10.8, законы сохранения (10.223) содержат в себе и уравнения движения материи. В простейшем случае некогерентной материи тензор Tki определяется (10.234), а уравнения (10.223) переходят в (10.235) и (10.236). Эти последние уравнения являются уравнениями движения свободно падающих частиц, выведенными с помощью принципа эквивалентности. Однако теперь мы видим, что эти уравнения являются следствием уравнений гравитационного поля, откуда следует, что эйнштейновские полевые уравнения совместимы с принципом эквивалентности.

Аналогично для упругих тел, Tki которых определяется в (10.230), законы сохранения (10.223) приводят к уравнениям движения (10.245) для произвольно малой части вещества, для которой, помимо гравитационной силы, следует учитывать еще упругую 4-силу bFf. Уравнения движения для упругих тел оказываются следствием уравнений гравитационного поля. Можно ожидать, что это будет справедливо и при наличии других сил. Как было подчеркнуто в начале §6.1, конечная скорость распространения любых взаимодействий приводит к необходимости рассмотрения промежуточного поля для описания взаимодействия двух разделенных тел. Возникающая при этом соответствующая 4-сила должна быть равна дивергенции тензора энергии — импульса промежуточного поля. С другой стороны, этот тензор вносит вклад в полный тензор Tki, стоящий в правой части уравнения гравитационного поля. Например, в случае электромагнитных сил, действующих на заряженное упругое тело, тензор Г? должен быть суммой выражений (10.230) и (10.305). Тогда закон сохранения (10.223), вытекающий из (11.13), снова приведет к уравнению движения для малой части тела в форме выражения (10.245). Однако теперь, как видим, в правой части уравнения должна стоять сумма упругой силы /IW0 и электромагнитной силы fibV0 из (10.304).

В теории гравитации Ньютона законы движения источников гравитационного поля не зависят от уравнений, определяющих само поле. Фактически движение источников произвольно в этой теории. Ho в общей теории относительности уравнения гравитационного поля определяют как само поле, так и движение источников этого поля, если даны, конечно, начальные условия. Это
зойство гравитационных уравнений, связывающих неразделимо законы механики и законы гравитации, является самой замечательной особенностью теории Эйнштейна, которая, в силу ее внутренней непротиворечивости и убедительности, вызывает высокую степень уверенности в справедливости физических следствий, вытекающих из формализма теории.
Предыдущая << 1 .. 141 142 143 144 145 146 < 147 > 148 149 150 151 152 153 .. 198 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed