Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
где ExH и DXB — векторные произведения (9.74").
Из (10.227), (10.229) и (10.307) получим следующие выражения для электромагнитной плотности потока энергии, плотности энергии и плотности импульса:
S — с (Е X Н); h — (DE + НВ)/2; (10.309)
g=(DxB)/f. (10.310)
301
Эти выражения полностью согласуются с формулами (7.70), (7.71), (7.72),
следующими из формулы для тензора энергии Минковского (7.68) материальной среды.
В случае статического гравитационного поля его влияние на электромагнитное поле эквивалентно влиянию покоящейся среды с є и (і, определяемыми в (10.294).
Вводя обычным способом скорость распространения электромагнитной, энергии и*, из (10.309) получим
u*»* = S^ft = 2с (Ex H)(V(ED + HB). (10.311)
Отсюда скорость электромагнитной волны и* равна
и* = с/п = с!(?\іУ'2 = с*, (10.312)
в соответствии с (10.154) н выражением (8.72) для скорости светового сигнала, когда Y = O.
В глобальном масштабе пространственная геометрия неевклидова, но в достаточно малой области пространства (но все еще большой по сравнению С ДЛИНОЙ волны) величины Ynv и п = (1 + 2х/с2)-1/* могут считаться постоянными, Поэтому в этой области можно ввести декартову систему координат. Тогда внутри этой области формулы (7.90) будут являться решением уравнений
поля (10.292) и будут справедливы выражения (7.93), (7.95) и (7.96) для S, h,
и и*.
Упражнение
Показать, что уравнения поля (10.292) выполняются и вне времени-ортогональнсш системе координат и что соотношения между (D, В) и (Е, Н) в этом случае будут определяться вместо (10.293) и (10.294) следующими выражениями:
D = (E+ (И X 7)!/(Ч-2х/с2)1/21 B= [Н-(Ехт)}/(1+2х/с«)Я.
Глава
11
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ГРАВИТАЦИИ В ОБЩБЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 11.1. Уравнения гравитационного доля и законы механики
В предыдущих разделах мы рассмотрели влияние заданного гравитационного поля на физические явления. Теперь обратимся к более важной проблеме в гравитационной теории, а именно к нахождению общих уравнений, определяющих переменные гравитационного поля (Ytiv, уц, %) или ^fe, создаваемые данным распределением масс. После ряда попыток эта проблема была окончательно решена Эйнштейном в 1915 г. (72, 73]. В теории гравитации Ньютона соответствующая задача формулируется в виде уравнения Пуассона
Д% = 4л?[л, (11-1)
где
k — 6,664 • 10~u m3 кг*1 сек~2 (11-2)
есть гравитационная постоянная. Это уравнение дает возможность определить гравитационный потенциал %, когда плотность массы дана как функция пространственных координат.
Учитывая эквивалентность массы и энергии, мы должны предположить, что любое распределение энергии (например, электромагнитное поле) должно порождать гравитационное поле. Плотность энергии произвольной физической системы определяется компонентой Tii тензора энергии Tik системы, в то время как потенциал % = с3 (—I—^)/2 связан с компонентой gti метрического тензора. Таким образом, уравнение (11.1) отражает тот факт, что некоторый дифференциальный оператор второго порядка, действующий на g4i, должен быть пропорционален компоненте T44. Поскольку уравнения гравитационного поля должны быть ковариантны, а различные компоненты Tik перемешиваются координатными преобразованиями, естественно предположить, что общие полевые уравнения должны иметь вид
Mlh=-V-Tik, (11.3)
где к — универсальная постоянная, a Mih — тензор второго ранга, зависящий только от метрического тензора gih и его первых и вторых производных. Уравнение (11.3) в случае слабого поля должно переходить в уравнение Пуассона (11.1), поэтому тензор Mih должен быть линейным по вторым производным gih, а в этом случае единственное возможное выражение для
Mill имеет вид
Rih + C1 Rgih -\-Czgikt (11-4)
где C1 и сг — константы, a Rik и R — свернутые формы тензора кривизны Ри-мана—Кристоффеля, определенные выражениями (9.239) и (9.242).
Вследствие симметрии тензоров в (11.3) и (11.4) система (11.3) заключает в себе десять нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Рассмотрим сначала частный случай пустого пространства, когда Tik = 0, а (11.3) сводится к
Mih = 0. (11.5)
Простой анализ показывает, что эти десять уравнений не могут быть независимы [13]. Если бы они были независимы, то в выбранной системе координат
303
(Xі) можно было бы определить однозначно функции gih (х1) на всем 4-пространстве, если gih и OgihIdx1 даны на гиперповерхности
X4 = const = а. (11.6)
Введем новую координатную систему х'1 преобразованием
Xti = Xrl(X); X1 = Xi(Xr); (Н.7)
тогда преобразованные функции
gik = (дх1 Idxli) ¦ (dxmldxrk) glm (11.8)
должны удовлетворять уравнениям
MU=О, (11.9)
причем, учитывая ковариантность уравнений (11.5), Al/* должен так же выражаться через glk, OgrikIOx'1, d2g'ihldx'!dx'm, как Mik выражается через gih, Ogikldxl, 02gihl0xl0xm. Следовательно, используя прежние рассуждения, видим, что уравнения (11.9) позволяют определить однозначно функции g'ih (х') по значениям grik, OgrikIOx1' на гиперповерхности X4 = X4 (хг) = а; и если мы выберем преобразование (11.7) таким, что х’1 = х> вблизи гиперповерхности
