Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Hki = (^Qfc + Qi Wye2. (10.247)
Здесь Qi — 4-вектор, который в локально инерциальной системе покоя 5° имеет форму (7.115), т. е.
Q? = (Q0, 0), (10.248)
о о
где Q0 — вектор потока тепла в S0.
Формулировка основ частно релятивистской термодинамики, данная в §7.10, 7.11, может быть непосредственно перенесена в ОТО. Первый закон термодинамики содержится в уравнениях (10.223), где Tki определяется по формуле (10.246). Из рассуждений § 7.10 следует, что 4-импульс тепла, подведенного к инфинитезимальной части материи в течение инфинитезимального процесса, происходящего в области SQ 4-пространства в окрестности точечного события Р: (Xі), есть 4-вектор:
SQi = (SQ11, -6Qlc). (10.249)
Что касается энергии и импульса, то подвод тепла создает такой же эффект, как и добавление к системе новой частицы с собственной массой 6Q0Ic2, каноническим импульсом SQtl и (гамильтоновой) энергией SQ = —c6Q4.
Пусть T0 (х), и
Q0(X)=I/T0(X) (10.250)
— собственная температура и холод, рассматриваемые как скалярные функции от (л:?). T0— абсолютная температура Кельвина, измеренная в локально инерциальной системе покоя i>°. По аналогии с (7.133) введем 4-векторное поле холода
Qi(X) = Q0Ui. (10.251)
Тогда если SS — (инвариантная) энтропия частицы в точке (Xі), то второй закон (7.186) для инфинитезимального процесса выражается соотношением
d(bS)^ —9* SQi, (10.252)
где знак равенства применим лишь для обратимых процессов.
При изучении материальных систем часто удобно вводить сопутствующую
систему отсчета R, в которой каждая материальная точка сплошной среды отождествляется с точкой отсчета системы R. Пусть 5: (Xі) — внутренняя система координат в R (все такие системы связаны калибровочными преобразованиями).
295
Тогда 4-скорость Ui материи в каждой точке (Xі) касается мировой линии точки отсчета. Следовательно,
^^сГ‘- = сб,4Г4-сба/(-Ы1/2, (10.253)
[см. (9.286), (9.238)], а вектор холода имеет компоненты
Єг = Є«сбг.4/(-?44)Ь'2. (10.254)
В сопутствующей системе второй закон (10.252) принимает простой виде? (SS) ^ > 0°c6Q4/(—или в соответствии с (10.249), (10.250)
d (6S) > SQlf0 (I + 2х Ic2)1 г-г. (10.255)
Если конечная термодинамическая система не подвергается возмущениям, то она рано или поздно придет в состояние теплового равновесия. В течение этого процесса энтропия системы все время увеличивается, пока не достигнет максимального значения в конечном равновесном состоянии. В соответствии с нерелятивистской термодинамикой это состояние характеризуется одинаковой температурой во всех точках системы. Однако, как впервые показал Толман [260, 186], в ОТО это не так; т. е. собственная температура в каждой точке среды зависит от гравитационного потенциала % в этой точке.
По определению, тепловое равновесное состояние среды означает, что можно ввести сопутствующую систему, В которой все физические величины, В ТОМ числе И gik, не зависят от временной переменной. Теперь рассмотрим виртуальный процесс, в котором от точки А к другой точке В подводится ннфинитезимальное количество тепла | 6Q j. Пусть (Ta, ЗМ) и (Tb, /в) — собственная температура и гравитационный потенциал в точках А и В соответственно. Поскольку гравитационное поле стационарно, из.закона сохранения энергии следует, что
6QB = | SQI = -SQ^. (10.256)
[Строго говоря, перенос тепловой энергии изменяет распределение масс, что в соответствии с общими уравнениями поля (см. § 11.1) изменяет метрическое поле. Однако, поскольку SQ—бесконечно мало, этот эффект приведет к изменению в (10.256) лишь на величину второго порядка малости.] Кроме того, поскольку энтропия — аддитивная величина, из (10.255) получим следующее выражение для изменеиия полной энтропии системы в течение этого процесса:
dS = d (SSa) +d(5SB) > | 6Q| {l/f° (I +2xBfcs)'*—lffl (I+2х/,/с*)'/*}. (10.257)
В результате, если
T0a (1+2xAlc*f > T0b (2+2(10.258)
увеличение энтропии положительно. Это означает, что энтропия еще не достигла своего максимума. Тогда виртуальный процесс будет реальным процессом. Подвод тепла от точки А в точку В будет происходить до тех пор, пока обе величины в (10.258) не станут равными. Поэтому необходимым условием термического равновесия является то, чтобы величина
T= T0 (I + 2%/с2)(10.259) была одинаковой зо всех точках среды. Это и есть теорема Толмана.
Упражнение 1
В произвольной системе температурный вектор Арзелье [уравнение (е) на стр. 172]
равен
Ti = T0Ui. (10.260)
Показать, что:
1) величина
T = -TiIc=EikTkIc (10.261)
в сопутствующей системе совпадает с величиной (10.259);
2) T является оищерелятивистской аналогией температуры Отта [уравнение (г) на стр. 171];
3) второй закон (10.252) для обратимых процессов принимает классическую форму d (6S) = SQ0QpIT [заметим, что в соответствии с уравнением (а) на стр. 171 5Q°6p пропорционально Ui]. Таким образом, в любой системе координат S наиболее естественно
29С
в качестве температуры определить величину (10.261). Однако это не является необходимостью, а в оОщем случае даже пе совсем удобно. Более простое и более полное описание термического состояния в 5,дает вектор холода (см. § 7.12).
