Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
С
С помощью сформулированного на стр. 227 принципа эквивалентности обще-ковариантное выражение для тензора энергии в S можно получить из соответствующего частно релятивистского выражения, справедливого в S, простым преобразованием координат. Таким образом, для чисто механической системы из (6.79)-(6.81) и (6.110), (6.111) имеем:
Ti =Bi+SkI =V0UiUk + °p°ia} h\a)h{a)k. (10.230)
Здесь Ui (,y) есть 4-скорость материи, a Ji0 (х), h° (х), связанные соотношением
tf> = hVc\ (10.231)
— инвариантные плотности массы и энергии соответственно, измеренные в локально инерциальной системе покоя S0. Кроме того, pfo (.v) — собственные значения относительного тензора напряжений I0jiv в S0, рассматриваемые как скалярные функции координат (,v‘) в S. h{°] — соответствующие собственные векторы, которые вместе с UiIc образуют тетрадное поле со свойствами (9.81), (9.84), (9.86) [см. уравнения (а), (б), (г) на стр. 138J.
Для идеальной жидкости из (6.130) имеем
Tki = ([I0 + Pt с2) Ui U* + р 6І (10.232)
что можно получить также из (10.230), когда все три собственных значения pfo) равны нормальному давлению р (х), измеренному в локально инерциальной системе. Подставляя (10.232) в (10.223), получаем фундаментальные уравнения движения идеальной жидкости, например, в форме общей ковариантной записи частно релятивистских уравнений (6.135), (6.130):
о о } (10.233)
(fx° + p/c2) DUlIdx= —dpjdx1—(UiIc2) dpldx, J
где DIdx — абсолютная производная (9.186).
о
Полагая в (10.232), (10.233) р = 0, получаем тензор энергии и уравнения движения некогерентной материи
TkI = Qttl=VPUiU* (10.234)
(?о[/л).к = 0; (10.235)
Ii0DUiIdx = O. (10.236)
29.3
Эти уравнения представляют собой обобщение уравнений (4.234), (4.215) и (4.219), когда единственными силами, действующими на материю, являются гравитационные силы. Уравнение (10.235) показывает, что собственная масса в этом случае сохраняется, а из сравнения (10.236) с (9.136) видно, что каждая «пылинка» некогерентной материи движется как свободно падающая частица.
Рассмотрим теперь очень малое количество материи объемом 6У° = = dx01dx02dx0S в локально инерциальной системе S0. Поскольку время в S0 есть собственное время т, учитывая инвариантность четырехмерного объемного элемента (9.63), имеем: с (—g)ll‘^dxMxHxMt ~ cdx01 dx03dx03dr. Тогда, используя (10.225) и (10.62), для объема материальной частицы в 5, получаем &V =у'/^хЧхЧхя = (бV0!(I + 2%/c2)l^)dx/dt, или
SV = SV0IT (\ + 2х1с2у/2, (10.237)
где Г — координатный множитель Лоренца (10.65) (см. также упражнение 2 на стр. 297).
Выражение (10.237) представляет собой обобщение формулы (2.34) для лоренцева сокращения при наличии гравитационного поля. При ик = 0 имеем
SV = SV0, (10.238)
т. е. объем малой частицы среды, покоящейся в S, равен ее объему, измеренному
о
в S0, в соответствии со свойствами (идеальной) стандартной измерительной .линейки, сформулированными на стр. 182.
Величина, аналогичная gt в (6.21), согласно (10.227) и (10.229) определяется следующим образом:
gi^(gli> -h!c) = Ti(\ + 2%lc*)44c. (10.239)
В случае некогерентной материи
= Ui Ui (1 +2х1сУ'Чс = }І°Г (1 +2х1сУ-!* Ui. (10.240) Умножая (10.240) на объем SV, получаем величину
SGi = giSV=(gliSV, -hSV/c), (10.241)
которая в соответствии с (10.237) равна 4-вектору
SPi = ^SV0 UI = Sm0Ui = (SPil, -SHIc). (10.242)
Здесь Sm0 = (X0SV"0 — постоянная и инвариантная собственная масса, a SPi —
4-импульс частицы. В § 10.4 мы видели, что пространственные ковариантные компоненты 4-импульса равны компонентам канонического импульса. Поэтому в (10.229) представляет собой плотность канонического импульса. Аналогично можно утверждать, что h есть плотность гамильтониана или плотность энергии материи с учетом и ее взаимодействия с гравитационным полем. Поскольку Sm0 в данном случае постоянна, при Fi = Q (10.236) эквивалентно
(10.3). Следовательно, все рассуждения § 10.1—10.4, в которых использовалось
(10.3), можно применить к каждой инфинитезимальной части некогерентной материи.
В случае упругой среды 4-импульс малой части равен
SGi = giSV=TUl+ 2 Х/с2)1/2 SVI с. (10.243)
Эта величина, аналогичная (6.69), конечно, не 4-вектор. Однако вклад в вели-
чину gi, обусловленный лишь тензором 0?, определяется выражением
SPi = Bf (1 + 2х1сг)1^ SVIc= ^SVaUi = Sm0Ui (10.244)
294
типа (10.242), являющимся 4-вектором. SPi есть «инклюзивный» 4-импульс, удовлетворяющий уравнениям (а), (б) на стр. 136, записанным в общекова-риантной форме
DbPJdx — SF* = f* SV0;
Я=-Sf;*. MrW1 Ф0.
Jk (10-245)
Эти уравнения, являющиеся простым следствием уравнений (10.223) с Tf» определяемым формулой (10.230), имеют форму уравнений (10.119). Отсюда следует, что малая часть материи движется подобно частице, на которую кроме гравитационной силы действует обобщенная сила типа (4.68). Наконец, для материи с внутренней теплопроводностью из (7.117), (7.118), (7.119), (7.127) получим
Tf = M?+//*, (10.246)
где Mt определяется формулой (10.230), а
