Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
V = v0 (I -«2/c3)1/2 = v0(1-W),/2, (10.219)
что представляет собой формулу СТО для поперечного доплер-эффекта (§ 2.11). С другой стороны, во вращающейся системе координат, соответствующей метрике (8.78) — (8.90), источник все время покоится, но потенциал %х в точке расположения источника равен —г2©2/2, в то время как потенциал Хг в точке наблюдения равен нулю. В этой системе сдвиг частоты — чисто эйнштейновский эффект, но наблюдаемая частота v, определяемая из (10.210), конечно, снова равна частоте (10.219).
Рассмотрим две произвольные системы координат S и S' с соответствующими системами отсчета R и R'. Пусть Vі (я) — V* [/?'] — поле 4-скоростей точек отсчета системы
R' относительно системы S. Сопряженное поле стандартных векторов согласно (10.36)
следующее:
Vі = Ijov-Iу I — , CllVl- V2Ic2 ); Vc = Cbili (10.220)
где t)>l — стандартные скорости точек отсчета системы R' относительно S. Если Ai — произвольный вектор, то из (9.227) и (10.220) для инвариантного скалярного произведения А і Vі имеем
AiVi=Tii V* = /41 K1 = сА ^ = — с~А ’4
или
T4 = (Ai -Mu V »;с) /(I -Wc*)1'*; (10.221а)
А’^ = IjAi-1^0^)/(1-ViIciY''*, (10.2216)
При Ai= Ki из (10.188) и (10.221 а) получим следующую формулу преобразования стандартной частоты:
v' = v(l — ev/c) (l—ViIc2Y^. (а)
Если система S' — система покоя источника излучения, то »' = р0 и»*1= # —
стандартная скорость источника. Тогда, решая (а) относительно V, снова получаем формулу (10.1202).
Выбирая A1 = dx1, из (10.2216) и (9.330) получаем формулу преобразования стандартного времени частицы
dt'=d? (I — uV /с2)/(1 — и2/с2)Уг. (б)
10"
291
При At = Pt из (10.2216) и (10.12) или (10.125) получим закон преобразования кинетической энергии частицы
?'-=(? — pv)/(l—V2Icty2, (в)
что аналогично соотношению (3.37) в СТО.
Наконец, полагая Ai равным 4-скорости частицы, из (10.36) и (10.221 в) получаем соотношение
(l — V u/c2) (l —и'2Ictyz = (I — ViIctyz (I — U2Icty', (г)
которое аналогично формуле (2.56) в СТО. Когда скорости и и v в каждой точке параллельны, т. е. при vu = vu, из (г) имеем
и' = (« —tl)/(l — и v/c2); и = (и' -\-v)/(l + uvlc2), (д)
что аналогично (2.49).
§ 10.8. Механика сплошных сред
С помощью метода, развитого в § 10.1—10.7, все физические законы СТО теперь легко записываются в общей ковариантной форме.
В гл. 6 было показано, что в СТО замкнутая система может быть описана симметрическим тензором энергии Tih, удовлетворяющим условию (6.1), которое в действительном представлении можно записать в форме
CiiVi {Tik} = дт • /дхк = 0. (10.222)
Физический смысл различных компонент Tih был объяснен в §6.1. Поскольку предполагается, что условие (10.222) справедливо в любой локально инерциальной системе, общая ковариантная форма законов сохранения энергии и импульса должна иметь вид [см. (9.199)]
или
-T7FT Ti Т"<1 = 4 TT ти- <10-223>
У I g I дх* 2 дх‘
В то время как в инерциальной системе законы сохранения для замкнутых систем выражаются уравнениями в форме суммы частных производных, мы видим, что в общем случае правая часть (10.223) этому не удовлетворяет. Когда система находится в гравитационном иоле, она не замкнута, поскольку гравитационное поле само дает вклад в полную энергию и импульс. (В § 11.9 мы еще вернемся к этому вопросу.)
В произвольной системе координат 5 компоненты тензора Thi можно по-
° к ° лучить из компонент тензора Ti в локальной инерциальной системе S с помощью формулы преобразования тензоров. Для достаточно малой и легкой островной части полной системы в S применимы методы, развитые в § 6.2,
6.3. В частности, если эта область настолько мала, что^й может везде в ней
считаться постоянным, собственный центр масс этой части области определяется
о
однозначно. Относительно S центр масс движется с постоянной скоростью, и, следовательно, его движение относительно S будет аналогично движению свободно падающей частицы [96, 167].
Первые три уравнения (10.223) представляют собой закон сохранения импульса, а четвертое — закон сохранения энергии. В стационарном случае правая часть в (10.223) при і = 4 равна нулю. Следовательно,
(1 /ИІТ) д (V\S\ П)/дхк = 0. (10.224)
В соответствии с (9.362) имеем
Igl= — g«7 = V(l +2х/с2). (10.225)
292
Тогда уравнение (10.224) можно записать в виде
(I/у)д I Yy (1 + 2Iic2)1 /2 Г*}ДО = 0. (10.226)
Теперь, полагая
SH=_c(l + 2x/ca)1/2^; /1=-(1 + 2 х/с8)1''2 TJ (10.227)
и имея в виду, что в стационарном случае Kv не зависит от времени, (10.226)
можно представить в форме
div S + dh/dt = 0,
где divS = (l//Y )д [Уу S»)/dx» (10.228)
— трехмерная дивергенция пространственного вектора S.
Уравнение (10.228) выражает закон сохранения энергии, если h и S интерпретировать как плотность энергии и плотность тока соответственно. В локально инерциальной системе уравнения (10.227) эквивалентны уравнениям (6.2) и (6.3). Как мы сейчас увидим, (каноническая) плотность импульса
gn = — (I +2х/с2),/2 Tp,. (10.229)
