Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Это различие между a‘k в (9.313) и в (9.311) проявляется более четко при рассмотрении стандартных векторных полей [/?], [/?'], сопряженных к тетрадным
векторам [К], [К']. По аналогии с (9.378) и (9.379) легко находим, что
__ _ _ > (У.ооО)
4- Ка) Al ЦЬ) IR]. J
Показать, что в последнем выражении компоненты сопряженных тетрадных векторов имеют вид _
Ь(а) [*'] = (*;„) 1*'], °); Ч) [К'] = Г‘‘=8і4
(9.381)
= IR], о); :Ц4) [R]--
И наконец, показать, что П-функции, определенные формулами (9.302), можно представить в виде _
пу1 = Ца) [R] к(6а> [R] I nf .J [Я] К\а) [/?], (9.382)
а стандартный метрический тензор имеет форму
Jift = Tieb K1 IR] ЦЬ) [R\; ~gik~4nbl[a) [/?] ЦЬ) \R]. (9.383)
Глава
10
ВЛИЯНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЕЙ НА ФИЗИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ § 10.1. Фундаментальные уравнения механики точки
Теперь с помощью формализма тензорного исчисления и принципа эквивалентности, сформулированного в § 9.6, можно однозначно обобщить все физические законы СТО. Поскольку мы полагаем, что тензорные уравнения СТО выполняются в локальной инерциальной системе с локальными лоренцевыми пространственно-временными координатами, то проблема отыскания фундаментальных уравнений физики (например, механики и электродинамики) в присутствии гравитационных полей сводится к чисто геометрической задаче в 4-пространстве.
Рассмотрим сначала движение частицы с постоянной собственной массой т0 в заданном внешнем гравитационном поле под действием негравитацион
ной 4-силы Fi. Это означает, что мы пренебрегаем влиянием (обычно малым
собственного гравитационного поля частицы и что gik можно рассматривать как известную функцию от координат Xі. Кроме того, поскольку ш0 считается постоянной, Fi удовлетворяет ковариантному уравнению
FlUi = 0, (10.1)
соответствующему соотношению (4.57) СТО. Здесь
Ui=^dxiIdx (Ю-2)
— 4-скорость частицы, а т — собственное время.
Тогда мировая линия частицы описывается коварпантным уравнением
DPiIdx = Fi. (10.3)
Здесь
Pi = щ Ui; Pi = та Ui (10.4)
— 4-импульс, a DPiIdx — абсолютная производная (9.133) при аг = Pi и
к = т.
Поскольку Pi пропорционален U1, DPiIdx с учетом (9.78) приводится к виду
DPiIdx = dPifdx—i 112) P1 (Г,, -f rftt (i) U* =
= dPi!dT-(lf2)gMttU*Pl. (10.5)
Из (10.4) и (9.40) следует, что Pi удовлетворяет соотношению
Pi Pi = —ml с2. ' (10.6)
В локально лоренцевой системе координат уравнение (10.3) совпадает с частнорелятивистским уравнением (4.55) в соответствии с принципом эквивалентности.
В § 9.16 было показано, что любое векторное соотношение эквивалентно
соответствующему соотношению между сопряженными стандартными векто-
263
рами. Следовательно, уравнения (10.1) — (10.6) можно заменить следующими стандартными векторными уравнениями:
FiUt = 0; (10.7)
Ui = dxi[dx\ (Ю.8)
Pi=In0Ui, Pl = In0Ui, (10.9)
PiPi=-Ih20C2; (10.10)
^iIdx=Fi. (10.11)
Как мы увидим в следующем параграфе, физическая интерпретация этих уравнений несколько проще, чем интерпретация векторных уравнений (10.1) — (10.6), с которыми будем иметь дело в дальнейшем.
Удобно ввести следующее обозначение для контр авар иантных компонент Pi стандартного 4-импульса:
Pi = G^l Etc). (10.12)
Тогда из (9.297) имеем
ptx = Pm. = Pm.; (10.13)
E = CPi = - cTft Pk = - CTi Pi = Я/(- ^44)*, (10.14)
где мы положили
Я= —сР4 = ?(1+2х/с2)'/=. (10.15)
Далее, из (9.297), (9.298), (9.299) получаем
Pi = (Pll, -Е/с). (10.16)
Здесь
plL = PVL — yliEIc=ytlvpv, (10.17)
где р^ и P11 — компоненты калибровочно-инвариантного 3-вектора р, a E — калибровочный инвариант, в отличие от Н, зависящего от масштаба времени. Используя (10.12) и (10.16), соотношение (10.16) приведем к виду
[ р 12 — (Е1с)2=—т20с\ (10.18)
где
/Pi2 = PjxPm- = ThvPhPv (10.19)
¦— норма 3-вектора р. С учетом (10.15) выражение (10.18) эквивалентно соотношению
|р|2 — (Я/с*)2= —ml с\ (10.20)
Используя формулу (9.364) при Ai = Pi, фундаментальное уравнение (10.11) запишем в виде
DPiIdx = Ki^Fh (10.21)
где Ki —ограниченный стандартный вектор:
Ki^P Qlih Uk = 2 PtQik UkIc. (10.22)
Здесь мы использовали (9.354), (9.337) и (10.4). Очевидно, что по аналогии с (10.7)
KiUi = O. (10.23)
264
Учитывая (9.343) — (9.345), для компонент Ki получаем выражение
Ki^im0UiIc) CalxUi/с + 2<ollv??\ - avUv/c). (10.24)
Здесь Oil — величина (9.345), которая с помощью (9.236) может быть записана в виде
W = ац с21 с*1 ^ailI (— §44) = (1+2х/с2) "1CJtx, (10.25)
где
Gfx = — OxlOx*-с* OyllIdt (10.26)
— гравитационное (координатное) ускорение (8.110) покоящейся частицы.
Калибровочно-инвариантная производная от Pi в левой части уравнения (10.21) с учетом (9.365), (9.352) и (10.9) равна
DPJdx = JPiIdx—(1/2) (Oigkl)PkU1, (10.27)
по аналогии с (10.5). Поскольку лишь пространственная часть стандартного метрического тензора (9.299) имеет ненулевые производные, (10.27) можно записать также в виде
DPiIdx=JPiIdx-(Oi уv%) pvUx/2. (10.28)
