Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
где
(9.364)
DAiJdl^dAiJdl-A1Tlt ik Uk = gikDAk/dk,\
DAiJdl = dAiJdl +A1TilkVk = g‘kDAkJdl. j (9.365)
Выражения (9.365) совершенно аналогичны формулам (9.132), (9.133) для абсолютных производных вектора. В отличие от стандартных векторов DAiIdlг, DAiIdl, величины DAiIdl, DAiIdl являются компонентами лишь ограниченного стандартного вектора. Это следует из того, что вторые члены в правых частях формул (9.364) представляют собой ковариантные и контра-
260
(9.366)
(9.367)
вариантные компоненты ограниченного стандартного вектора. Таким образом, DAiIdX, DAiIdX — стандартные векторы лишь относительно ограниченной группы преобразований (9.283). Поэтому мы их будем называть калибровочноинвариантными производными стандартного вектора. Пространственная часть DAviIdX — уAvIdX _ является калибровочно-инвариантным 3-вектором, а временная часть DAJdX = — DAVdX — калибровочный инвариант.
Упражнение /. Стандартный тензорный анализ
С помощью формул, приведенных в тексте, показать, что сопряженная ковариант-ная производная векторного поля — стандартный тензор.
A\knJ\k = dh Ai+A1Ffk-, J
ft н I * = A1 ^г, ik — Sik Ali k. J
Аналогично для тензорного поля ранга 2
Aikl = А(* = д, Aik+Amk Vfnl +Aim Ykml; 1
_____ _ AtHl= jI I / ^-?. Tfl +Al Ykml= gir J
Aikjl = Aik \i=d{Aih —Amk ГТі~Аіт rW =^ir [I *
И Т. д.
Очевидно, что
11 = °. FfI = O.
Это формулы, сопряженные с (9.192). Стандартная дивергенция векторного поля является скаляром, который в соответствии с (9.366), (9.358) — (9.360) равен
аТГЙ] =Afl=Hi Ai +Ai Ykik = 7-? д -, (у* Ai) - aJ1 Ail/с *. (9.368)
Аналогичные выражения для стандартных векторов
div' [F] =F\kk ; Ш] {Г} =77*, к (9.369)
соответствуют дивергенции (9.200) и (9.199) антисимметрического и симметрического тензоров, Из (9.357), (9.348) и (9.366) для стандартных векторов Ai (X) на данной кривой по
аналогии с (9.186) имеем
DAiZdX=mAljkUk; ]
_ (9,370)
DAiIdX = Ailk Uk U1 = dxLldX- J
Параллельный перенос и перенос Ферми—Уолкера для стандартных векторов определяются стандартными уравнениями, сопряженными с уравнениями (9.137) и (9.138) соответственно.
Упражнение 2. Геометрическая иллюстрация различия между тензорами
и стандартными тензорами
В §9.6 и на стр. 254 представляла собой совокупность тетрадных векторов в фиксированной точке Р. Кроме общих тетрадных соотношений (9.81) — (9.86), этн векторы в точке P удовлетворяют еще специальным условиям (9.97). Представим теперь, что с каждой точкой в 4-пространстве мы связали тетраду такого типа. Это семейство тетрад образует тетрадное поле X1^ (х). Из сравнения первого уравнения системы (9.97) и (9.286) находим, что
Я,|4) = Г1 = у?/с = Я,{4)[ЯЬ (9-371)
рде — поле 4-скоростей точек отсчета в системе отсчета R. Поскольку рассматриваемое тетрадное поле зависит от R, обозначим его Конечно, этим тетрадное поле не бу-
дет определено однозначно, так как при любом вращении тетрады, оставляющем неизменным Xf4f [/?], оно будет также удовлетворять условию (9.371) и соотношениям (9.84), (9.86), т. е.
*{„, ДО ЦЬ) [R] = Xfl IR] 4°> R = 6‘ . (9.372)
261
Для фиксированной системы отсчета R эти векторные соотношения выполняются в любой точке и в любой системе координат. Следовательно, компоненты [/?] тетрады
в произвольной системе координат S" также будут удовлетворять соотношениям типа (9.372). Кроме того,
IR) =V^Iс, (9.373)
где — компоненты 4-скоростей точек отсчета системы R в координатной системе S". В общем случае не равна величине Г”? в S". Это равенство имеет место лишь тогда, когда S" является внутренней системой координат в R, т. е. если S" связана с 5 калибровочным преобразованием.
В любой другой системе отсчета R' аналогичным образом можно ввести тетрадное поле, удовлетворяющее тетрадным соотношениям (9.372) и для которого
Ь(4 )IK'}=Vr'/c> (9-374)
где ¦— поле 4-скоростей точек отсчета R1. Во внутренней системе координат S' системы отсчета R' снова имеем
V^Ic = Ti, (9.375)
но в общей системе S Г‘ отличается от Vi^, /с. Векторные поля [/?'] и Ца) [/?'Jb каждой точке связаны лоренцевым вращением типа (9.95). Следовательно,
IfURl =Aab [R') =Abal{b)[R), (9.376)
где Ab и Лд — инвариантные скаляры, определяемые формулами
Aab = W [R']k{b) IR]-,
'АЬа = Ца}1К']ЦЬ) [К]; (9.377)
ЛЬа = еа)Ч)АЬ-
Применяя к векторам [/?] и [/?'] преобразования (9.311) и используя тетрадные соотношения (9.372), легко находим, что коэффициенты (9.312) можно представить в форме
> (У.о (о)
4=b{a) [R]Kky ^J=M0) ^
«ли с учетом (9.376)
*k = Ka) АЬКкЬ) IRb К-Ца) Ю A%W Wb (9.379)
Эти формулы показывают, что в любой точке преобразование вектора состоит из преобра-
зования Лоренца, которому предшествует и за которым следует более общее пространственно-временное преобразование. И наоборот, преобразование сопряженного стандартного вектора состоит, как мы видели на стр. 356, из того же преобразования Лоренца, заключенного между двумя преобразованиями лишь пространственных компонент.
