Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Ti = IlF Г* = Si4; Г* = П[,І Г, = 6i4 = gti. (9.337)
Более важный пример дает ограниченный антисимметрический тензор
= с (rft> 4-гг. ft)/2 = С (Oi Tk-dh T,)/2 (9.338)
и его сопряженный ограниченный стандартный тензор
Qik = пЬ] 11?{Cl2) Idl Tm-OmTl) = (с/2) (nfo O1 Гг-П[?] дь T1) =
= (с/2) Г, (п[А]—пЬ-1)- (9.339)
Последнее равенство следует из (9.337), поскольку обычное правило дифференцирования произведения справедливо и для оператора Oi. Кроме того, из (9.302) имеем
Oi П[ц = бг4 Oi oh + Shi б;4 dt Г4;
где о, определяется из (9.287). Следовательно,
Qifc = (с*/2) (dt ah-dk Oi) + (сТЧ2) (Sfu Di Ti-Silt дк Г4). (9.341)
Здесь мы использовали соотношение
ГДг4 + Г*дгГ4 = 0, (9.342)
вытекающее из (9.288).
Пространственная часть в (9.341) является, очевидно, тензором пространственных вращений (9.135), т. е.
4iv = G>nv (9.343)
Поэтому, согласно теореме на стр. 257, (Oflv должен быть калибровочно-инвариантным 3-тензором в соответствии со своим физическим смыслом (см. упражнение в § 9,6). Оставшиеся ненулевые компоненты Qift равны:
Q^ = -К = (^/2) (Г4.ц-Гц.4). (9.344)
По той же теореме величина
Sli == 2^ll4 = с2 Г4 (Г4.н-Гц >4) (9.345)
представляет собой калибровочно-инвариантный 3-вектор.
Все дифференциальные операторы в §9.10 имеют свои сопряженные аналоги в стандартном тензорном анализе. Мы уже рассмотрели сопряженный
258
(9.340)
оператор градиента. Аналогично мы можем определить ковариантное дифференцирование стандартных тензорных полей, дивергенцию и ротор стандартных векторов, параллельный перенос стандартных векторов и т. д. В упражнении 1 этого параграфа приведены соответствующие формулы. Здесь мы рассмотрим лишь стандартный аналог абсолютной производной вектора. Как и в § 9.8, введем векторное поле А\ (X), определенное на кривой х1 =
— XiQi.) с инвариантным параметром X. Абсолютная производная от Ai есть вектор (9.133):
DAiIdX = CtAiIdl-A1TljkUlt; Uk = dxk/dl. (9.346)
Соответствующий сопряженный стандартный вектор
DAiIdl^DAiIdl = IIfn (dAr/dl—At Г4. rs Us) =
= dAiIdX-At (gtr ds П[г] + IIfl1 Tf, J Us (9.347)
можно представить в форме
DAiIdX^dAiIdX-A1Tlt ihU\ (9.348)
где
rif ik = glm nlm] Ilfo 3S U[n -f nf,] IIfl1 П[А] г,, „. (9.349)
В стандартном векторном анализе величины ГУ ik играют ту же роль, что и символы Кристоффеля в обычном векторном анализе. В соответствии с (9.77) символы Кристоффеля равны
г и TS = (ds gtr + дг g, з — dt gra)/2. (9.350)
Поэтому из (9.335), (9.321) и (9.304) имеем
Г*. ц> = Г/, ik—(1/2) [gtrdk (П[/] П[і]) +SVs ді (П[/] 1?)-
~grsdt (9.351)
где
Гг, ik = [dkgu + digik — di gik)/2 - Tm (9.352)
получаются из символов Кристоффеля расстановкой черточек над всеми величинами в (9.350). Кроме того, снова используя (9.321), (9.304) и (9.340), по-
следний член в фигурных скобках формулы (9.351) представим в виде
grs dt (П[?] П[/г] ) =gVs IIfo д[ П[А] -г grs П[/,] Si IIfo =
= gim Iism-101 n[kl+gkmrtrm] O1 IIfi-Jj= - (i^ TirlkJ + gnm nfo) dt =
= (&І4 П[/г] + gki ITf1]) ді Гг.
Аналогичные выражения получаются и для других членов в фигурных скобках этой формулы. Подставляя эти выражения в (9.351), имеем
Г;, ih = ih + (? Гь + Qlk Г• — Qlh Гi) 1с, (9.353)
где снова использовали (9.340) и (9.337), (9.339).
Таким образом, величиныTiihl, заменяющие символы Кристоффеля в стандартном тензорном анализе, имеют вид
Г,.*г = Гг.^+2^ _ }
— —QhlT()/с= -Qftir)
Здесь Qih — ограниченный стандартный тензор (9.341) с компонентами (9.343) — (9.345). По аналогии с последней формулой (9.78)
Г*, in-г Tht и = Tii hl-j- Гу и B1 glh. (9.355)
9* 259
В то время как Г!;йг и Tjiftl симметричны по k и /, Qiki и Titkl — несимметричны.
Контравариантные компоненты стандартного вектора (9.348) равны
DAiIdX = gim~DAm/dX = DAiIdX = П|і] DAkIdl. (9.356)
Используя те же соображения, что и при выводе формул (9.348), (9.354), из (9.346) легко получаем, что
Ъ A1 Jdk = ClAtIdK+I1TilkUk, (9.357)
где
TL = SimTmthl = Th + й?«;| їм = IfmFmibi. j
По аналогии с (9.126) — (9.128) имеем
Tki = gil Tlthi = g'7 (Г,, ik 4- Гг> Ih)/2 = (I /2) dfcgi,; j
^=(-?^? (-ай- і
(9.358)
(9.359)
Здесь g = Igih I — определитель матрицы компонент стандартного метрического тензора, причем из (9.29) следует, что
I=-Y, (9.360)
где Y I Yhv I — определитель матрицы компонент пространственного метрического тензора. Далее, из (9.321) находим, что
g = IIgII, (9.361)
где
П = 11& I = Г‘= (-&*)-%
— определитель матрицы (9.302). Следовательно,
g = II-2g = g44Y. (9.362)
С другой стороны, свертыванием величины Q\ki в выражении (9.358) для
П/ получим ограниченный стандартный вектор с нулевой четвертой компонентой:
fi! hi = -(2/с) Qhi Г*' - -(2/с) Ciki = (flv/c*, 0). (9.363)
С учетом (9.354) и (9.358) стандартные абсолютные производные (9.348) и
(9.357) можно записать также в следующей форме:
D AiJdl = DA Jdl — A’ Qlih
DAiJdl = DAiJdl + A1 Qf tk Uk,)
