Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Tife = ЛЧ A[k = «Г A1M (9.323)
Aih=~guSkmA,m\ Aik = gagkmAlm, (9.324)
Все правила и соотношения, полученные в § 9.3 для тензорной алгебры, можно теперь непосредственно перенести в алгебру стандартных тензоров. Для этого
достаточно в формулах в § 9.3 величины gik, а*, а* заменить на gih alk, а*, соответственно. Сложение двух стандартных тензоров ранга п дает новый стандартный тензор того же ранга, а прямое произведение двух стандартных тензоров рангов т и п дает стандартный тензор ранга (т + п). Наконец, свертка по верхнему и нижнему стандартным индексам уменьшает ранг стандартного тензора на 2. При этом стандартный тензор нулевого ранга является инвариантом и равен соответствующему тензору нулевого ранга, как это мы уже видели на примере скалярного произведения (9.318) двух векторов.
С помощью П-функций (9.302) любому тензору применительно к каждому индексу можно сопоставить стандартный тензор этого же ранга. Например, тензору Aik второго ранга можно сопоставить следующий стандартный тензор ранга 2:
Alh = U1ln lift] Alm- АЛ = ПІ1'1 ПІк] Alm. (9.325)
Таким образом, (9.321) означает, что gih является соответствующим сопряженным стандартным тензором для метрического тензора gih. Из (9.316) непосредственно следует, что величины Aih, Aik в (9.325) преобразуются в; оответствии с формулами (9.323) для ковариантных и контравариантных компонент стандартного тензора. Кроме того, из (9.321) видно, что Aik и Aik связаны друг с другом соотношениями (9.324). Подставляя (9.299) в (9.324), получаем
= Ynx Vw Ala', Au = —Ynx = Yia I
— _ — __ ? (9.326)
Aiv=—Yva A4cc = Yva А\.\ Aii = Aii* J
Когда координатные преобразования являются калибровочными преобразованиями, стандартные коэффициенты сводятся к (9.317), а преобразования (9.323) принимают форму
Tliv = CtfavTa; Л ,Iv-*? CCvAu*; Tli4 = CtfTT*4; JtI4 = ^Au;
T4v = CtJJTa; i;v = a«J4a;
Alii = A4i = Aii =A4i.
(9.327)
.256
Это приводит к следующему обобщению теоремы на стр. 253 для векторов: пространственные компоненты стандартного тензора, т. е. Aliv, A*v, являются компонентами одного и того же калибровочно-инвариантного 3-тензора, a Api4 и Л?4 являются компонентами калибровочно-инвариантного 3-вектора. Аналогично Ai^w A ^ также являются компонентами {в общем случае другого) калибровочно-инвариантного 3-вектора, a A4i = Aii — калибровочный инвариант. Применительно к стандартному метрическому тензору (9.299) эта теорема утверждает, что Yixv, Y^n — калибровочно-инвариантный 3-тензор, т. е. Yfiv — инвариант относительно временных преобразований (9.285). Как уже упоминалось в § 8.13, это ясно из физических соображений, поскольку пространственный метрический тензор, в принципе, можно определить с помощью измерений стандартной измерительной линейкой (см. § 8.8) и результат таких измерений, естественно, не зависит от регулировки координатных часов.
В гауссовой системе координат, где = — бг4, имеем Г‘ — — Гг = = = 1? = б,-k и компоненты тензора и соответствующего сопря-
женного стандартного тензора совпадают; но в любой другой системе координат оба вида тензоров имеют совершенно различные компоненты. Однако соотношения между тензорами и их сопряженными стандартными тензорами 1см., например, (9.301), (9.325)] такие, что стандартный тензор, соответствующий тензору, образованному путем сложения, умножения и свертывания нескольких тензоров, равен стандартному тензору, полученному тем же образом из соответствующих стандартных тензоров. Следовательно, любое ковариантное соотношение между тензорами справедливо и для соответствующих сопряженных стандартных тензоров. В частности, стандартный тензор должен иметь те же свойства симметрии, что и соответствующий тензор. Кроме того, поскольку тензор нулевого ранга, т. е. инвариант, равен своему сопряженному стандартному тензору того же ранга, т. е.
= (9.328)
линейный элемент ds2, выраженный через стандартные величины, имеет вид
dsa = gih dx1 dxk = gih dx1 dxk. (9.329)
Здесь
Txi = U1Pdxk = (dxv-, —rkdxk)= (dxv, cdt) (9.330)
— стандартный вектор, соответствующий вектору dx1. Стандартный временной дифференциал, определяемый формулой
dt = dx4c= — rhdxk/c, (9.331)
в общем случае he полный дифференциал, т. е. он не является дифференциалом глобальной временной переменной і, но линейный элемент, выраженный через di, имеет особенно простую форму. В действительности, из (9.229), (9.329), (9.330) имеем
Js2 = Ym-v dx* dxv—(dx*)2 = do2—сг df. (9.332)
Градиент скаляра я|? есть вектор с компонентами
А - = di)VBxi=Oi tj). (9*333)
Сопряженный стандартный вектор в соответствии с (9.301) и (9.328) равен
X1 = Ji ? = ^, (9.334)
9 Зак. 1174
257
где ді — дифференциальный оператор:
Oi = ПЙ] Ok = Di + (6г4 + Гг) Г* а4. (9.335)
Его компоненты с учетом (9.287), (9.288) следующие:
Oi = {д», TiOIdxi). (9.336)
Здесь (?. — оператор (8.130). Из теоремы на стр. 253 следует, что н TiBldxi — калибровочно-инвариантные операторы.
Если А — ограниченный тензор, то соответствующая сопряженная величина, получаемая по формулам (9.301) и (9.325), является ограниченным стандартным тензором, т. е. стандартным тензором относительно лишь калибровочных преобразований. Такие величины будем выделять «шляпкой» вместо черточки, которой обозначаются полные стандартные тензоры. Тривиальный пример — сопряженный стандартный вектор ограниченного 4-вектора Г?. Он имеет постоянные компоненты
