Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Xri = Xti(Xi). (9.285)
При преобразованиях (9.284) пространственные компоненты А* и Avu 4-вектора Ai = gihAk преобразуются как контравариантные и ковариантные компоненты 3-вектора соответственно, но в общем случае они являются компонентами двух различных 3-векторов, поскольку All равно Yiav^v лишь в частном случае. Наша цель — построить калибровочно-инвариантные величины. Для этого удобно в каждой системе координат 5 ввести следующие величины:
Гг = 6|4/(-^у/2 = {0, О, О, (1+2X/CV/*}; \
ї'і=SiliTk=§н/(-§и)'л=Iyllt-а+2%т, і {U-Jbb)
251
где уд и х — гравитационные потенциалы (8.63), (8.109). Величины Гг связаны, очевидно, с величинами <тг, определенными в (8.125), соотношениями
1\ = (-&4)*<Г? =-F4Ori; аг? = Г*Г, = (аг„.-1). (9.287)
Закон преобразования для величин (9.286) очень сложен, но для группы калибровочных преобразований Гг и Г* являются контравариантными и ковариантными компонентами 4-вектора. Это легко показать, если вспомнить, что калибровочные пребразования не изменяют систему отсчета. Каждая система отсчета R в 4-пространстЕе описывается семейством мировых линий точек отсчета = const или соответствующим полем касательных времени подобных единичных векторов, направленных в будущее. Эти единичные векторы равны; V1rIc, где Fj? — 4-скорости точек отсчета системы R. Тогда P и Г-г являются компонентами этих единичных Еекторов в любой внутренней системе координат SbR, поскольку пространственные компоненты равны нулю и
Гг Tv = T4 Г4= — 1. (9.288)
Поэтому, вследствие того, что мировые линии точек отсчета при калибровочных преобразованиях не меняются, величины Гг и Г' должны преобразовываться в этом случае как компоненты (фиксированного) 4-вектсрного поля' VrIс. Это легко показать и непосредственно, пользуясь определениями (9.286) и формулами преобразования (9.12) для gih в частном случае (9.283). Величины, подобные Гь которые ведут себя при калибровочных преобразованиях как 4-тензоры, будем называть ограниченными 4-тензорами.
Из любого векторного поля с компонентами Ai a Ai = gikAk можно построить калибровочно-инвариантную величину:
[A] = AiTi = Ai Ti = AiTi = Ai (—g44)~%. (9.289)
Поскольку Гг — ограниченный 4-вектор, скалярное произведение (9.289) — инвариант относительно преобразований (9.283). Проектируя вектор Ai на гиперплоскость, ортогональную к Гг, получим ограниченный 4-вектор с компонентами
(9.290)-
A1l = А‘ + (Ak Tk) Г* = Aljr Si4 Ai (Г4)2; 1 Aj- = Ai + (Ah Г*) Г, - A1 + Ai Ti Г2. J
Этот спроектированный вектор, естественно, ортогонален Г1':
Ti = ^Гг-/I^r4 = O. (9.291).
Следовательно,
Ai = 0; (9.292)
Al = - (Г4)-1 Tlx Al = OvAl. (9-293)
В соответствии с (9.290) пространственные составляющие спроектированного 4-вектора имеют вид
^ = Лц+Г4ГйЛ4. (9.294)
При калибровочных преобразованиях (9.283), когда a% = 0, они преобразуются как компоненты 3-вектора, так как с учетом (2.292) имеем
A'^ = O^kAkx = O^ А1\\
, Л ~ (9.295)
Ai =4АЇ = аІАЇ.\
Величины, подобные и Al, которые не изменяются при временных преобразованиях (9.285) и ведут себя как 3-векторы при чисто пространственных пре-
252
образованиях (9.284), будем называть калибровочно-инвариантными 3-векто-рами. Из (9.290) и (9.293) имеем далее
At = A1 = SrHV + Yn Yv А± = Vnv А±, (9.296)
где Yj1V — пространственный метрический тензор (8.64). Итак, получаем теорему о том, что пространственные компоненты спроектированного 4-вектора являются компонентами одного и того же калибровочно-инвариантного 3-вектора.
Из величин (9.289), (9.284) можно образовать две 4-компонентные величины A1 и A1:*
_ J-=Ui, -Ml) = (Л», -Г„ Л*); \
A = Uih Иі)=(у4„+Г* г„, л, ГМ,). I
В каждой точке 4-пространства они линейно выражаются друг через друга с помощью следующих соотношений:
Jl=UlhA* Ai ~ gik Akt (9.298)
гДе gih и gik — симметричные 4 X 4-матрицы с компонентами
guv = Yuv; gu — Sa — ^г4 — tIu''I (9 299V
gnv _ yi*v; = gii = _ Si4 = r|M. I
Это непосредственно следует из (9.297), (9.296) и (9.98'). Кроме того,
&lgki = Bu Вл = ft- (9.300)
Формально gik аналогичны метрике инерциальной системы с криволинейными пространственными координатами; однако следует помнить, что здесь ^tiv могут зависеть также от времени и описывают в общем случае неевклидово трехмерное пространство.
Таким сбразом, любому векторному полю Ai мы можем сопоставить четы-рехкомпонентнсе поле которое в любой точке 4-пространства связано с компонентами векторного поля линейными соотношениями
= Xi = Ilff] Л*. (9.301)
Сравнивая с (9.297), находим, что
ПІ‘>«»(ІІ-ви(** + Г»); I
П^ = 6,» + (6и+Гг)Г*8м.|
Из (9.298) и (9.301) непосредственно следует, что эти П-функцни удовлетворяют соотношениям
пЕ,] = gil ПTh gmk, п?0 = ga Тй] g»'\ (9.303)
т. е. индексы в скобках опускаются и поднимаются с помощью матрицы (9.299), а другие индексы являются тензорными индексами. Кроме того, из (9.302) имеем
П[й] — П[/] Tli^ — Sik. (9.304)
Следовательно, инверсия соотношений (9.301) дает
A1 = TL[k]~Ak; Ai = Yl1^Ak. (9.305)
