Пособие для самостоятельного обучения решению задач по физике в вузе - Мелёшина А.М.
Скачать (прямая ссылка):
5.7. Для установления направлений линий магнитной индукции используется
правило буравчика: если буравчик ввертывается по направлению тока, то
направление вращения его головки определяет направление линий магнитной
индукции.
5.8. В том случае, когда плоскость, в которой находятся проводник с
током и радиус-вектор, неизменна, все эле-
238
ментарные векторы направлены вдоль одной 'прямой и геометрическое
сложение векторов можно заменить алгебраическим. В остальных случаях для
вычисления интеграла от dВ (см. п. 5.3) поступают так же, как в
электростатике для подсчета вектора Ё. Математически задача нахождения
вектора индукции сводится к взятию интеграла: В - = / АВ. Обычно этот
интеграл преобразуют, приводя к скалярной форме (для этого надо взять
составляющие вектора dS или спроектировать его на удобно расположенные
оси п т. п.). Но прежде всего нужно построить 'вектор dВ, т. е.
определить направление векторного произведения [dl, г].
5.9. Пример 6. Вычислить напряженность поля кругового тока на его оси
(рис. 120). Расстояния а и h, а также значение тока I заданы.
Решение. Так как векторное произведение [d7, г] направлено
перпендикулярно к обоим векторам dI и г, то вектор dВ лежит в плоскости
ДМОА и направлен вдоль линии, проходящей через точку А перпендикулярно к
радиусу-вектору г. Его направление вдоль этой прямой определяется по
правилу правого винта, как показано ja рис. 120.
Разложим dВ на два вектора: dВа, направленный параллельно радиусу
окружности а, и d5z, направленный вдоль оси z. Если перемещать точку М по
окружности (что и делается при интегрировании), вектор dB будет
'поворачиваться вслед за треугольником МОА. При этом вектор dBz будет все
время направлен одинаково, a dfia - по-разному, причем каждому вектору
dВа соответствует такой же по значению и противоположный по направлению
вектор. Таким образом, при интегрировании выражение для
проекций dВа обращается в ноль, и dBz можно интегрировать как скаляр.
По построению, dBz=dBsina, где а - угол между dS и осью z. Найдем
значение dB. Так как векторы dI и г взаимно перпендикулярны, то | [dl, г]
| =d/r. Следовательно,
Рис. 120
239
dBz = |A0I/(4Kr2)d/sin а. Теперь легко вычислить интеграл, если учесть,
что расстояние г постоянно:
В = B2=iji0I sin а/ (4лг2) ^d/=[x0I/(4nr2) -2ла sin а=
==М-01а2/ (2г3).
В треугольнике АОМ угол АОМ прямой. Поэтому r2=a2+h2. Таким образом, в
окончательном виде В = цо1а2/[2(а2+Ь2)3/2].
5.10. В некоторых случаях расчет магнитных полей существенно упрощается
благодаря применению теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции.
Рассмотрим в 'пространстве с токами (1ь 12, Ь,...) замкнутый контур L
(рис. 121). В каждой точке контура токи создают некоторую индукцию
магнитного поля, характеризующуюся вектором В. Циркуляцией вектора
магнитной индукции называется интеграл по замкнутому контуру ф (В, dz)
L
(см. М6.1).
5.11. Теорема о циркуляции утверждает следующее: циркуляция магнитного
поля постоянных токов по всякому замкнутому контуру пропорциональна сумме
токов, 'пронизывающих контур циркуляции. Множитель пропорциональности
зависит от выбора системы единиц. В системе СИ он [Хо, т. е. $
Bd7=no2Ife.
к
5.12. Известно (см. М6.1), что знак интеграла зависит от направления пути
обхода контура. Ток считается положительным, если его направление
находится в правовинтовом соотношении с направлением пути обхода контура.
На рис. 121 контур обходится по часовой стрелке, поэтому ток 12 считается
'положительным, а ток I] - отрица-
240
тельным. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он пронизывает
поверхность, опирающуюся на контур. Таким образом, в нашем примере <f>
Bd/=(.io(2l2-Ii). Ток 13 вне контура на циркуляцию не влияет.
5.13. Если путь интегрирования не обходит вокруг тока, циркуляция вектора
В равна нулю. В тех областях пространства, где не текут электрические
токи, циркуляция § БА1=0, т. е. в таких областях магнитное поле
потенциально (например, поле постоянного магнита). В пространстве с током
магнитное поле не потенциально.
5.14. Для описания магнитных полей используется также вспомогательная
величина, называемая напряженностью магнитного поля. Она связана с
магнитной индукцией В в вакууме соотношением В = [Ло#.
5.15. Теорема о циркуляции для Я записывается так: ф Яё7=21й.
L к
5.16. В практике используются системы, представляющие собой совокупность
N витков с током, включенных последовательно. Такие устройства называются
соленоидами. Соленоид представляет собой катушку плотно прилегающих друг
к другу витков; длина I катушки значительно больше ее диаметра d: /^>d
Силовые линии магнитной индукции соленоида изображены на рис. 122, Внутри
соленоида поле можно считать однородным, при этом индукция поля
максимальна. За пределами соленоида густота линии индукции меняется, й
индукция В оказывается пропорциональной третьей степени расстояния от
осевой линии соленоида. Для расстояний r^>d магнитное поле соленоида
