Пособие для самостоятельного обучения решению задач по физике в вузе - Мелёшина А.М.
Скачать (прямая ссылка):
mr=F, а уравнения (H"- в виде
mx-'Fx; mt/=Fy; mz = Fz.
13
оси х). Тогда уравнения движения примут следующий вид:
d х __г-, /1 \
m^2-=Fx> (1)
" |f -О, (2)
d2z
m|f=o, (3)
или в сокращенной записи:
mx=Fx, mi/=0, mz=0.
Поскольку сила направлена вдоль оси х, модуль ее F-F*, поэтому в
дальнейшем описании решения задачи индекс х у проекции силы можно
опустить.
Из уравнений (2) и (3) следует, что в тех направлениях,
/ d2y
в которых сила не действует, ускорение равно нулю =
= 0), так что точка движется по инерции (в частности, мо-
жет покоиться). Из уравнения (1) вытекает, что при дей-
d*^x
ствии постоянной силы ускорение постоянно (=F/m=
= const), т. е. движение равноускоренное (или равнозамедленное, если
ускорение отрицательно).
Решаем уравнение (1). Поскольку
d2x d I dx
m dF m dF\dt
имеем:
d^- =F/mdt.
Проинтегрировав обе части полученного равенства по t, найдем:
=jF/mdt+Ci, или =F/mt+Ci, или i=F/mt+Ci.
Проинтегрировав последнее равенство еще раз по t, получим проекцию на ось
х радиуса-вектора, описывающего искомый закон движения:
x=F/mt2/2-fCit-fC2. (4)
Решим уравнение (2), проинтегрировав два раза по t:
¦ =Сз, у == Сз^-)~ С4. (5)
И
Аналогичным образом получим:
z = C5t+C6. (6)
Совокупность выражений (4), (5), (6) является законом движения точки с
координатами х, у, z. Выражение (4) при F=const является примером закона
равномерно-переменного движения, записанного в общем виде, так как здесь
постоянные Ci, С6 произвольны. Для того чтобы конкретизировать значения
постоянных Ci, ..., С6, необходимо задать начальные условия: координаты и
скорости в начальный момент времени. Как это делается, видно из
следующего примера.
Пример 36. Допустим, что в начальный момент времени выполнялись следующие
условия: при силе, направленной вдоль оси х (условие примера За), А)
точка находилась на оси у на расстоянии b от начала координат, Б) точка
имела значение скорости Vo и направление ее вдоль оси г. Условие А
означает, что при t = 0 Хо^О, yo = b, Zo=0. Условие Б означает, что при t
= 0 Vox=0, Voy=0, Voz=Vo. Подставив данные условия А в закон движения,
получим: С2 = 0, С4=Ь, С6 = 0.
Для того чтобы воспользоваться условием Б, нужно с помощью закона
движения построить составляющие скорости. Продифференцировав (4) по
времени, получим:
^|- = v*=,F/rnt+Ci. Из выражения (5) находим: =\ту=
= С3. Аналогичным образом vz=C5. Поэтому, согласно условию Б, С[ = 0, Сз
= 0, C5=Vo.
Итак, при рассмотренных начальных условиях закон движения таков:
x=F/mt2/2; y=b; z = v0t.
Заметим, что при определении произвольных постоянных не обязательно
пользоваться именно начальными условиями (заданием координат и скоростей
в начальный момент времени). Например, вместо начальной скорости могут
быть заданы координаты точки в другой (неначальный) момент времени или
другие физические характеристики, в которые входят произвольные
постоянные, например, энергия точки, если выполняется закон сохранения
энергии, и т. п.
Пример Зв. На точку массой ш, движущуюся по прямой, действует постоянная
сила F. Найти закон движения, если точка в начальный момент времени
выходит из начала координат и приходит в точку xi в момент ti.
15
Решение. Общая формула закона движения была получена в примере За:
x=iF/mt2/2+Cit+C2. Нужно найти Ci и С2. Для этого запишем значения х(0) и
x(ti):
х(0)=0, т. е. С2 = 0, x(ti) =iF/mt12/2+Citi = xb следовательно, С1 = [xj-
Fti2/(2m) ]/t,.
В этих примерах уравнения движения легко было решить 'потому, что сила -
постоянная. Методом, который применялся в примерах За и 36 (но с более
сложным интегрированием), решается система (Н"), если сила зависит от
времени. Если же сила является функцией координат, решение
соответствующих дифференциальных уравнений представляет существенные
трудности. Для одних видов уравнений имеются стандартные методы решения,
для других они - математическая проблема, а иногда практически удается
находить лишь приближенные решения. Еще более сложно отыскание закона
движения системы взаимодействующих точек.
Нахождение закона движения - важнейший тип задач в механике, ибо, зная
закон движения, можно легко найти все механические характеристики
движения точки (или системы точек).
1.7. Рассматривая задачи I и II типов, мы предполагали, что никаких
препятствий движению точки нет, и оно определяется лишь действующей силой
и начальными условиями Однако во многих случаях точка (тело) находится в
таких условиях, что в некоторых направлениях движение оказывается
невозможным при любых силах. Так, если, например, автомобиль находится на
шоссе, то, хотя на него и действует поле силы тяжести, направленное
вертикально вниз, оно не может заставить его двигаться, так как этому
препятствует поверхность шоссе. Шарик, подвешенный на нити маятника,
движется не так, как камень, брошенный под углом к горизонту, хотя оба
находятся под действием одной и той же силы тяжести. И шоссе, и нить
ограничивают возможности движения данного тела. Их взаимодействие с телом
