Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мелёшина А.М. -> "Пособие для самостоятельного обучения решению задач по физике в вузе" -> 4

Пособие для самостоятельного обучения решению задач по физике в вузе - Мелёшина А.М.

Мелёшина А.М., Зотова И.К., Фосс М.А. Пособие для самостоятельного обучения решению задач по физике в вузе — В.: ВГУ, 1986. — 440 c.
Скачать (прямая ссылка): posobiedlyasamostoyatelnogoobucheniya1986.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 147 >> Следующая

тел как при непосредственном контакте, так и через посредство создаваемых
телами полей (поле тяготения, электрическое поле и т. д.). Сила
характеризуется численным значением (в дальнейшем будем писать -
ю
значение), направлением и точкой приложения, т. е. является вектором.
1.4. В механике наиболее характерны следующие типы задач:
I - определение силы по характеру вызываемого ею движения,
II - нахождение закона движения по заданным силам.
Согласно второму закону Ньютона, в инерциальной системе координат
выполняется равенство F = ma, где F - результирующая всех сил,
действующих на точку; ш - масса точки, а - ее ускорение. Если положение
точки в пространстве характеризовать радиусом-вектором г, т. е. закон
движения - векторной функцией г (t), то скорость й=^-=г,
du d 2r т, ,
ускорение a = ^j|_== JpT^г- а"им образом, выполняется равенство
d2r -
m -?2=F- (H)
Равенство (Н) называется уравнением движения. Задачи обоих типов решаются
с использованием уравнения (Н). Рассмотрим их более подробно.
1.5. Задачи типа I. Известен закон движения, т. е. зависимость координат
точки от времени r=f(t) или x=fi(t), y=f2(t), z = f3(t). Найти силу F
(или ее составляющие - проекции вектора F на оси координат: Fx, F", F2).
При решении задач типа I нужно использовать тот факт, что ускорение а
(или его проекции) есть вторая производная от радиуса-вектора (или
соответствующих ему координат) но времени:
d2r I d2x d2y d2z\
а dt2" \ х Ж2" ' гу~ dF' аг_ dt2]'
Пример 1. Найти силу F, под действием которой точка массой ш движется по
прямой по закону x=at2/2, где а - заданная постоянная.
Решение. Нужно воспользоваться уравнением (Н), подставив в него закон
движения: x=at2/2. Продифференци-dx d2x
ровав х, получим: = ~а> следовательно, F=ma -
постоянная величина. Здесь а -величина ускорения.
и
При одномерном движении вас может интересовать только знак силы, который
определяется знаком ускорения. В случае пространственного движения может
ставиться вопрос
о направлении силы, т. е. о силе как векторе.
Пример 2а. Точка движется вдоль оси х по закону х= a cos cot, где а и со-
заданные постоянные. Найти силу как функцию координат.
Решение. Согласно закону Ньютона, F=m -т4-,
dr
dx d~x
=-асо sin со t, -Г-7Г =-асо2 cos со t, т. е. F=-maco2 cos со t. dt dt2
Поскольку x=acoscot, получим: F=-mco2x. Таким образом, мы нашли искомую
силу. Запишем полученное выражение для iF' в несколько ином виде, введя
новую постоянную k=mco2>0 : F=-kx. В точке х=0 сила F-0. При поло-
жительных значениях х она направлена в отрицательную сторону изменения
координаты, при отрицательных - в положительную. Чем больше отклоняется
точка от начала координат (положение равновесия), тем большая сила
стремится вернуть ее в первоначальное положение. Такая сила называется
возвращающей (упругой).
Пример 26. (Этот пример при первом знакомстве с общими положениями можно
пропустить.) Точка массой ш движется в плоскости по закону x=acoscot, у=
a sin cot, где а и со - заданные постоянные. Найти силу, действующую на
точку.
(Рх
Решение. Так как Fx = m-^2", найдем вторую произ-
dx d2x
водную от х: - =-a sin со t; -=-асо2 cos со t. Следова-dt dt2
тельно, F-c=-maco2 cos со t =-mco2x. Аналогичным образом Fy=-mco2y.
Следовательно, числовое значение силы
F=yF2x+F2y=maco2. Определим ее направление. Для этого построим радиус-
вектор точки А (рис. 2). Из чертежа видно, что tga=y/x*. Но угол, который
составляет вектор _F с осью х, определяется из условия Fj//F;c=y/x=tg<?
(F, х). Таким образом, сила направлена по линии вектора г. Такая сила
называется центральной. Знак проекции силы обратен знаку проекции г,
следовательно, сила направлена к началу координат (сила притяжения к
силовому центру).
" По поводу тригонометрических функций см Ml.
12
У
х
X
Рис. 2
1.6. Задачи типа П. Задана сила F как функция координат и времени F=F(x,
у, г, t). Найти закон движения f(t).
При решении задач типа II равенство (Н) 'нужно рассматривать как
дифференциальное уравнение второго порядка для нахождения г (t) :
Обычно уравнение (Н') проектируется на оси коордйнат:
и решается система трех уравнений.
Так как в механике постоянно встречаются производные по времени, для них
вводят следующие сокращенные обозначения:
Таким образом, уравнение (Н') можно переписать в виде
При решении дифференциального уравнения второго порядка появляются две
произвольные постоянные. Их находят из заданных начальных условий
(координаты и скорости в начальный момент времени).
Пример За. t-ia точку действует постоянная сила F. Найти закон движения.
Примечание Важным примером постоянной силы является сила поля тяжести Вы
знаете, что ускорение силы тяжести g приблизительно можно считать
постоянным (g~9^8 м/с2). Поэтому сила тяжести постоянна F = mg, где ш -
масса точки
_Р е ш е н и е. Выберем систему координат так, чтобы сила F была
направлена вдоль одной из осей (например, вдоль
(Н")
dx . d2x .. d2r
dT dF"~X' "dF==r
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 147 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed