Пособие для самостоятельного обучения решению задач по физике в вузе - Мелёшина А.М.
Скачать (прямая ссылка):
приложениях теории колебаний. Однако находить произвольные постоянные при
решении уравнений Ньютона иногда удобнее, если закон движения выражен в
виде x = Ci cos со t+C2 sin о t, а затем, если нужчо, с помощью Ci и С2
выражать а и а.
45
8.4. Мы знаем, что косинус есть периодическая функция своего аргумента
(см. Ml.5): cos(wt+a) = cos(cot+a+2nn), где n-целое число. Поэтому если
вместо t взять момент времени t+T, такой, что аргумент косинуса co(t+T)+a
отличается от аргумента cot+a на величину 2я, то x(t+T)=x(t), т. е. Т
есть период функции x(t). Из условия co(t+T)+cc=
- (Dt+a+2n следует, что юТ = 2я, или Т = 2л/ю. Поскольку Т - время (и
измеряется, например, в секундах), частота измеряется в обратных
секундах: 1/с=:с-1.
Иногда вводят линейную частоту v=cd/(2ji). В отличие от нее о называется
циклической частотой. Очевидно, что v= 1/Т.
Из определения Т следует, что период колебания зависит только от частоты
и не зависит от амплитуды.
8.5. Имея дело с законом движения колеблющейся точки, например, в виде
(*), нужно помнить, что значение х при этом откладывают не от произвольно
выбранного начала координат, как это могло быть в других задачах, а
обязательно от точки равновесия. В связи с этим рассмотрим следующую
частную задачу.
Точка массой m подвешена на вертикальной пружине жесткости к (рис. 14).
Найти закон движения.
Решение. На точку действуют две силы: сила упругости пружины Fi = -kx и
сила поля тяжести F2=mg (ось х направлена вниз). Тогда уравнение движения
(Н") можно записать в следующем виде: mx=-kx+mg.
Нетрудно догадаться, что если при горизонтально расположенной пружине
положение равно-^ весия, от которого велся отсчет координаты, нахо-
дилось в точке О, то при вертикально подвешенной пружине положение
равновесия определяется
О из условия Хо=0, т. е. kxo=mg. Таким образом,
положение равновесия теперь находится в точке хо, отстоящей от точки О на
расстоянии xo=mg/k. х Возьмем теперь новую координату xi = x-х0 и
подставим x=xi+x0 в уравнение движения:
111*1 = -kxi-kxo+mg. (**)
Но -kxo+mg=0, так что для xi снова полу-чим уравнение движения: mxi =-кхь
т. е. уравнение для гармонического колебания, но с положением точки
равновесия, сдвинутым вниз на величину mg/k.
46
8.6. Мы показали, как решается задача Ньютона (задача типа II, см. п.
1.6): по силе и начальным условиям устанавливается закон движения. При
решении задачи смешанного типа (или типа I) по виду колебания
определяется коэффициент упругости к.
8.7. Не всегда даже одномерное (описываемое одной координатой) колебание
происходит под действием упругой силы. Примером может служить плоский
математический маятник, движение которого происходит под действием силы
тяжести и реакции связи.
Из рис. 15 видно, что х =
= /sin ф. Координата х от угла ф зависит гармонически, а от времени -
негармонически.
В самом деле, для того чтобы х было представлено в виде x=asino)t,
необходимо, чтобы угол ф был пропорционален t (линейно зависел от
времени), т. = const. В дей-
ствительности этого нет: положение равновесия точка проходит быстро,
вблизи наибольшего отклонения движется медленно, останавливается и
возвращается (здесь ф изменяет знак).
8.8. В п. 8.7 мы видели, что колебания маятника не яв-
ляются гармоническими, однако если угол ф мал, то оказывается, что закон
движения маятника приблизительно описывается гармонической функцией
времени. На рис. 16 представлены силы, действующие на точку массой т. Пр
и малом угле ф результирующая сила F, направленная по касательной к
траектории (окружности), приблизительно совпадает со своей проекцией на
ось х: | F| " | Fx |. Поскольку при малом значении ф tg-ф^ф (БШф^ф, cos ф
" 1), то Fx=-т§ф, где знак минус указывает на то, что сила Fх направлена
в сторону, про- рис ]6
47
тивоположную увеличению значения <р. Положение маятника однозначно
определяется координатой х, причем х= = /sin(p, и при малых значениях ф
х"/ф. Для определения координаты запишем уравнение (Н") (см. п. 1.6):
mi'=Fx,
т. е. т/ф=-mgф. Уравнение ф+ё//ф=0 является уравнением движения для
гармонического колебания, частота которого co=Yg//. Следовательно ф=А sin
(Vg/Zt+a), где амплитуда А и начальная фаза а определяются из начальных
условий. Приблизительно х=А / sin (VZ/gt+a).
Период колебания Т=2я/со, т. е. T=2ny//g.
Задача 46. Точка массой т=2,5 кг на конце пружины, жесткость которой
к=250 Н/м, может совершать колебания вдоль оси х. Длина пружины в
ненапряженном состоянии L=0,20 м. Найти закон движения точки, если в
начальный момент времени t=0 длина пружины 1=0,23 м и скорость движения
точки vo=0,3 м/с.
1. Ответ получился неправильный (330).
2. Не могу найти начальную фазу колебаний (394).
3. Не знаю, как воспользоваться начальными условиями (410).
Вывод. В задаче о движении точки под действием идеальной пружины ее длина
в ненапряженном состоянии (в нашем случае L) не играет роли.
Задача 47. Точка массой т=10 кг может двигаться под действием двух
