Пособие для самостоятельного обучения решению задач по физике в вузе - Мелёшина А.М.
Скачать (прямая ссылка):
равна нулю.
К7.2. Какую работу надо совершить, чтобы заставить движущееся тело массой
т = 2 кг 1) увеличить свою скорость от vi = 2 м/с до V2='5 м/с; 2)
остановиться при начальной скорости Vo==8 м/с?
К7.3. Шофер автомобиля начинает тормозить за 25 м от препятствия. Сила
трения в тормозных колодках FTp постоянна и равна 3840 Н. Масса
автомобиля М=1000 кг. При какой предельной скорости движения автомобиль
успеет остановиться перед препятствием? Силой трения колес о дорогу
пренебречь.
К7.4. Камень бросили под углом а=60° к горизонту со скоростью vo=15 м/с.
Найти кинетическую, потенциальную и полную энергии камня: 1) спустя 1 с
после начала движения, 2) в высшей точке траектории. Масса камня т =
- 0,2 кг, сопротивлением воздуха пренебречь.
К7.5. Снаряд массой т==98 кг, летящий горизонтально вдоль
железнодорожного пути со скоростью v = 500 м/с, попадает в платформу с
песком массой М=10 000 кг и застревает в ней. Какова будет после этого
скорость движения платформы,, если платформа 1) стояла на месте, 2)
двигалась со скоростью v=36 км/ч в том же направлении, что и снаряд, 3)
двигалась со скоростью 36 км/ч навстречу снаряду.
К7.6. Конькобежец массой М=70 кг, стоя на коньках на льду, бросает в
горизонтальном направлении камень мас-
43
сой m = 3 кг со скоростью v = 8 м/с. Найти, на какое расстояние откатится
при этом конькобежец, если коэффициент трения коньков о лед к = 0,02.
К7.7. Масса снаряда ш = 10 кг, масса ствола орудия М=600 кг. При выстреле
снаряд получает кинетическую энергию Wft=l,8-106 Дж. Какую кинетическую
энергию получает ствол орудия вследствие отдачи?
8. КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ
8.1. Пусть точка массой m двигается по прямой так, что положение ее
описывается координатой х. На точку действует упругая сила F=-kx, где к-
положительная постоянная. В точке х=0 сила F=0. При уходе точки вправо
(х>0) сила F=-kx<0, т. е. действует в направлении точки О. При уходе
точки влево (х<0) сила положительна, т. е. снова действует в направлении
точки О (рис. 12),. Таким об-
1 u" * *----------- Рис. 12
о
разом, всякий раз сила стремится вернуть точку в точку О, которая
называется положением равновесия. Примером может служить точка массой m
на конце пружины. В положении Ai (рис. 13) пружина сжата и стремится
расправить-
Рис. 13
ся, т. е. действует на точку в направлении к О. В положении Аг пружина
растянута и стремится сжаться, действуя на точку с силой -kx, тоже
направленной к О. В положении О пружина находится в ненапряженном
состоянии и никакого действия на точку А не оказывает.
8.2. Найдем закон движения точки, движущейся под действием силы F=-kx,
где k>0 -заданная постоянная, называемая коэффициентом упругости
(жесткостью) пружины. Для этого построим уравнение движения и найдем его
решение.
Уравнение (Н") (см. п. 1.6) теперь имеет следующий ri2x
вид: m-Т =-kx, или irw+kx=0. Это дифференциальное at
уравнение второго порядка для отыскания x(t). Обычно его записывают в
виде x+(o2x = 0, где (o2=k/m>0 - заданная константа. Уравнение это
решается с помощью специального приема (см. М9.5). Если этот прием вам не
известен, его 44
можно не использовать. Приводим решение уравнения (Н"): x=Ci cos м t+C2
sin о t, где Ci и C2- произвольные постоянные (см. М9.4). Вы сами можете
проверить, что его подстановка в уравнение движения действительно
обращает последнее в тождество.
Произвольные постоянные С] и С2 легко получить из начальных условий, если
заданы в начальный момент t=0 координата Хо и скорость i(0)=vo. В самом
деле: х(0) = С2 cos 0+С] sin 0=С2, т. е. С2=х0, i=v(t)=-Qco sin со t4*
+С2со cos о t, и при t=0 v(0)=vo=-Сца sin 0-j-C2co cos О, т. e. C2=vo/o>.
Таким образом, x(t) = Vo/co cos a t+x0 sin ю t.
8.3. В теории колебаний часто применяют не только произвольные
постоянные С] и С2, но и другие, связанные с Ci и С2 однозначно.
Обозначим Ci^acosa, C2=asina, где а и а - новые произвольные постоянные,
которые можно выразить через Ci и С2: C2/Ci = - tg а, т. е. а= arctg(-
C2/Ci), Ci2+C22=a2, т. е. a=]/Ci2+C22. Поскольку -sin a sin о t+cos a cos
со t = = cos(cot+a), для x(t) получим:
x(t) = acos(cot+a). (*)
Здесь a-амплитуда колебания, cot+a - его фаза, где ю - частота, а -
начальная фаза (при t=0). Так как cos(o)t+a) есть периодическая функция
времени t, формула (*) описывает периодически меняющуюся координату, и
движение точки является периодическим - колебательным. Колебания,,
совершающиеся по закону косинуса (или синуса), т. е. когда закон движения
имеет вид (*), называются гармоническими.
Согласно п. 8.2, характеристика o)=]/k/m зависит от свойств точки (массы)
и действующей силы (коэффициента упругости), а и а зависят от начальных
условий. Поскольку cos(cot+a) изменяется от -1 до 4*1. значение а
определяется как координата х при фазе cot+a=0; я; 2я; ..., т. е. как
максимальное отклонение х от положения равновесия 0.
Закон движения гармонически колеблющейся точки, представленный в виде х=
a cos (ot4-a) > имеет простой физический смысл и часто применяется в
