Пособие для самостоятельного обучения решению задач по физике в вузе - Мелёшина А.М.
Скачать (прямая ссылка):
dt ь dt .................. dt ~ N'
где Fx - сила действия >на точку i остальных точек и внешних полей.
Сложив левые и правые части этих уравнений, dP
получим: -jp ==2/?г. Импульс сохраняется, если сумма сил,
действующих на все точки системы, равна нулю, так как
dP .
сохранение импульса означает, что -jj- =0.
Для замкнутой системы, т. е. системы точек, между которыми возможны
взаимодействия, но нет сил, действующих извне, импульс Р = 2ш,в,=const,
так как сумма сил, дей-i
ствующих между точками, равна нулю.
7.2. Если в каком-либо направлении внешние силы на систему точек не
действуют, проекция импульса на это направление сохраняется.
Равенство (Н'") можно записать в координатной форме: =FX; =FV; =FZ.
Если сила сохраняет
dt at at
свое направление (подобно силе тяжести), то одну из осей координат
(например, ось z) можно направить вдоль направления силы, так что FK=0 и
?у~0. В этом случае
=0, -Pil =0, т. е. рх=const, pv=const, dt at
7.3. Моментом импульса точки относительно начала координат называется
вектор М= [f, ту] = [г, р], где г-ра-
38
т vr 'dr. di>i
-?! 3 I + Гг, тг
диус-вектор точки массой ш. Моментом импульса системы точек называется
сумма моментов импульсов каждой точки:
ТЙ -2[гг, Рг]. i
Закон сохранения момента импульса можно получить
d М "
из условия -=0:
= 2 {[Йг, ШЙг] + [гг, Ft]}. i
Согласно свойству векторного произведения (см. М2.3),_пер-
-г * d М
выи член этой суммы равен нулю. 1аким образом,-- =
=S[r" /^г] • Поэтому момент импульса системы точек со-
i
храняется, если сумма моментов сил, действующих на эти точки, равна нулю.
/ П1?^ \
7.4. Мы установили (см. п. 6.3.), что dA=d|-- J, и нашли (см. п. 6.4),
что dA=-<dU. Таким образом, если работа не зависит от пути перехода, то
d(mi>2/2) =-d(J, или d(m?>2/2-{-U) =0. Обозначим полученную сумму буквой
Е и назовем энергией (или полной энергией): Е = тй2/2+
U(x, у, z). Условие dE = 0 означает, что E = const. Таким образом,
энергия сохраняется, если работа, совершаемая постоянными во времени
силами, не зависит от вида пути. Силы, обеспечивающие выполнение закона
сохранения энергии, называются консервативными.
Если действующие на точку силы зависят от времени, но потенциальная
энергия может быть введена (см. п. 6.6), то энергия точки Е = гпй2/2+и
(х, у, z, t), однако закон сохранения энергии уже не выполняется.
Не выполняется закон сохранения механической энергии и тогда, когда
имеется трение, так как часть ее переходит в тепловую энергию.
Если система состоит из нескольких взаимодействующих точек, ее энергия E
= mit)12/2-|-m2t>22/2+ ... -f-U (гь гг, ..., t). В этом выражении
потенциальная энергия складывается из энергии взаимодействия между
точками системы и энергии действия внешних полей. Если система замкнута
(т. е. внешние поля отсутствуют), то, поскольку силы взаимодействия между
точками потенциальны и не зависят от времени (они
39
зависят только от расстояния между точками), закон сохранения энергии
выполняется.
7.5. Законами сохранения часто пользуются при анализе движения системы
точек, в частности процесса соударения тел (которые моделируются
точками). В процессе соударения различают удары упругие и неупругие. При
упругих ударах изменением внутренней энергии тела (в частности, его
нагреванием) пренебрегают, так что выполняется закон сохранения
механической энергии. При неупругом ударе часть механической энергии
переходит в тепловую. В результате упругого удара тела после соударения
расходятся, в результате неупругого удара они могут двигаться совместно
как единое целое. Законы сохранения импульса и момента импульса при
неупругом ударе выполняются.
7.6. Тела при столкновении могут соприкасаться центральной частью или
нет. При некоторых ударах тело может начать вращаться вокруг своей оси, и
тогда его движение нельзя описывать моделью точки. Во всех задачах этого
раздела (механика точки) будем считать удары центральными, т. е. такими,
при которых применима модель точки.
Задача 36. Человек массой ГП! = 60 кг, бегущий со скоростью Vi -9 км/ч,
догоняет тележку массой т2=80 кг, движущуюся со скоростью v2=3,6 км/ч, и
вскакивает на нее.
1. С какой скоростью щ станет двигаться после этого тележка? 2. С
какой скоростью и2 будет двигаться тележка с человеком, который бежал ей
навстречу?
1. Не понимаю, какие законы сохранения выполняются в этой задаче
(204).
2. Значение скорости ui получилось иное, чем в ответе (244).
3. Формула для скорости и2 не получилась (279).
Задача 37. Граната, летящая со скоростью v=10 м/с,
разорвалась на два осколка. Больший осколок массой mi, составляющей 60%
от массы гранаты, продолжал двигаться в том же направлении, но с
увеличенной скоростью Vi = = 25 м/с. Найти скорость меньшего осколка v2.
1. Не знаю, какой закон сохранения здесь использовать (205).
2. В задаче не заданы массы, и я не знаю, как их найти (280).
Вывод. В этой задаче, так же как в предыдущих, предполагается, что
выполняется закон сохранения массы. А так как импульс пропорционален
