Пособие для самостоятельного обучения решению задач по физике в вузе - Мелёшина А.М.
Скачать (прямая ссылка):
при переходе материальной точки из начала координат в некоторое положение
с координатами х, у, z. Обозначим эту работу через -U(x, у, z). Функция
U(x, у, z) называется потенциальной энергией точки и зависит при
указанных условиях только от ее положения в пространстве.
Рассмотрим рис. 11. При переходе материальной точки из положения 0 в
положение 1 совершается работа A0i = =-Ui, при переходе из положения 0 в
положение 2 - работа Ао2=-U2. Работа, совершаемая силой при переходе
2
1
2
i
3
0
Рис. 11
3*
Рис. 10
35
материальной точки из положения 1 в положение 2, равна:
2 0 2 12 А12= / Fds= / Fds+ f Fds= - J Fds+ / Fas = - U!+U2= 110 0 0
=-(U,-U2).
На бесконечно малом участке ,пути работа силы dA=Fds - --dU. Это
равенство можно записать в развернутом виде:
С А I С А I ТГ A dU dU , dU
F*dx+F"dy+F*dz = - ^"dx- ~dT
Таким образом, между потенциальной энергией и силой имеется следующее
соотношение:
" dU dU <3U _ ..т "1Т
F"c= , Fy- , Fz= , или F grad U=-VU.
В этом случае сила называется потенциальной.
6.5. Сравнивая выражения А12=К2-Ki из п. 6.3 и Ai2=U2-Ui из п. 6.4,
получим важное равенство:
U2-Ui = my22/2-mvi2/2.
6.6. В том случае, когда действующая на точку сила зависит от времени,
работа этой силы является функцией времени. При этом работа может не
зависеть от пути между данными точками, следовательно, сохранится и
понятие потенциальной энергии. Только в отличие от случая не зависящей от
времени (стационарной) силы, потенциальная энергия будет зависеть от
времени: U(x, у, z, t).
Задача 33. Точка массой т=1 кг в момент времени t=0 начинает двигаться по
закону x=5t2+2t-fl. Найти работу, которая совершается силой, действующей
на точку за время t= 1 с.
1. Не знаю, как приступить к решению задачи (201).
2. Не могу найти скорости в заданные моменты времени (221).
Вывод. Если известен закон движения, работу и кинетическую энергию можно
найти с помощью простых математических действий.
Задача 34. При вертикальном подъеме груза массой т = 2 кг на высоту h=l м
с постоянной силой была совершена работа А=80 Дж. С каким ускорением
поднимали груз?
1. Ответ получился неправильный (202).
2. Не знаю, как по данным задачи найти ускорение (222).
36
Вывод. Таким образом, вы убедились в том, что, совершая работу над
грузом, сила F увеличивает его скорость (ускорение а положительно).
Приведите пример силы, которая уменьшает скорость движения тела (ответ вы
найдете в следующей задаче).
Задача 35. Вагон массой т = 2 т, движущийся равнозамедленно под действием
силы трения F=6000 Н, через некоторое время останавливается. Начальная
скорость вагона Vo=54 км/ч. Найти: 1) работу А сил трения, 2) расстояние
si, которое вагон пройдет до остановки.
1. В выражении для работы неизвестен путь, и я не знаю, что делать
(203).
2. Ход решения неясен (395).
Вывод. Работа силы трения отрицательна, так как она уменьшает скорость
движения.
7. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Нахождение закона движения, особенно системы взаимодействующих точек
(тел), иногда связано со значительными трудностями. Мы уже говорили в п.
6.1, что существуют механические характеристики, которые можно находить,
не зная закона движения. Эти характеристики могут выражаться с помощью
координат, скоростей, сил, перемещений " т.п., и поэтому, вообще говоря,
меняются со временем. Примером служат работа и кинетическая энергия (если
значение скорости точки меняется со временем, то меняется и ее
кинетическая энергия). Механическая характеристика, зависящая от
переменных величин (координат, скоростей и др.), при определенных
условиях может оставаться неизменной во-времени (сохраняться).
Сформулировать закон сохранения данной физической величины - значит
указать те условия, при которых она остается неизменной. Законы
сохранения являются следствием основных законов механики (постулатов
Ньютона).
С помощью закона сохранения можно характеризовать движение точек в таких
задачах, в которых нахождение закона движения затруднительно или даже
невозможно. Примером может служить задача о столкновении бильярдных
шаров. Во время соударения шаров вследствие их упругости между ними
возникают сложные взаимодействия. Однако благодаря тому, что в этом
случае выполняются законы сохранения (энергии и импульса) до и после
столкновения, можно определить, как будут расходиться шары, не исследуя
процесса их столкновения.
37
7.1. Импульсом точки называется вектор р = mv, где m-масса точки, v - ее
скорость. Импульсом системы точек называется сумма импульсов каждой точки
независимо от того, есть между точками взаимодействие или нет: Р=2тгиг,
i
где i - номера точек (если число точек N, то i ===== 1, 2, ..., N).
~ _dr dp d(mv) dv d2r
Гак как -, то для точкиЧт-- = m-г- = m -г^ ,
dt dt dt dt dt2
а последнее выражение, согласно (H) (см. п. 1.4), равно
силе F. Таким образом, уравнение Ньютона можно записать
в следующем виде:
^ = F. (Н'")
Для системы N точек имеется система уравнений:
QPL-f- ¦ 2Ё1.- Р- ¦ dPN г?
