Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
Теперь используем еще раз начальное условие, устремляя ф к л. Расстояние,
на котором луч света прошел бы вблизи Солнца, если бы на него сила
притяжения не действовала, называется прицельным расстоянием. В силу
малости отклонения оно примерно равно г0. На рис. 66 видно, что г sin ф =
г0 при ф -> л, a ctg (ф/2) =* 0. Поэтому из (31.37) при ф -" л находим В
= 1/г0. В процессе движения момент импульса N сохраняется. Его значение
вычислим в начальный момент времени при ф = я. Очевидно, N - тсг0, где с
- скорость света. Подставляя эту величину в (31.37), окончательно
получаем формулу, описывающую траекторию светового луча:
Как и следовало ожидать, масса т из формулы выпала, потому что траектория
частицы в заданном поле тяготения не зависит от нее.
После отклонения луч удалится от Солнца на г -* оо в направлении угла -
Дф. Из (31.38) определяем этот угол: ,
Эту же формулу можно получить более просто с помощью следующего
прикидочного расчета. В первом приближении можно считать, что траектория
луча является прямой линией. Поле тяготения ускоряет фотон в направлении,
перпендикулярном его траектории. В результате этого он приобретет
перпендикулярную составляющую скорости vj_, а угол отклонения от
первоначального направления может быть найден по формуле tg (Дф) л; Дф =
vLlc.
На рис. 66 непосредственно видно, что dvL = dv sin ф, причем dv есть
изменение скорости за время dt, направленное по радиусу-вектору к центру
притяжения. Из (31.1) следует, что
7 * G^r (1+cosф) + Дзшф.
(31.36)
(31.37)
(31.38)
Принимая во внимание, что угол Дф очень мал, можно считать, что ctg (-
Дф/2) " -2/Дф и, следовательно, \
I ¦
Дф == 2 GM/c2r0.
(31.40])
dvx - - r2~ sin qidt.
(31.41)
31. Движение планет и комет
209
Закон сохранения момента импульса (31.14) имеет вид тг2 ф = - тг0с,
(31.42)
где учтено, что при движении угол ф уменьшается, а момент импульса в
правой части равенства вычислен для начального момента времени. Из
(31.42) следует, что
Полное значение перпендикулярной составляющей скорости, приобретаемой
фотоном в процессе движения при изменении угла ф от л до 0, равно
о
и, следовательно, для определения угла отклонения луча Дф имеем формулу
совпадающую с точной формулой (31.40).
Отметим одно побочное обстоятельство: приближенный расчет не обязательно
приводит лишь к приближенной формуле. Он может привести и к точной
формуле, как это только что случилось, вследствие того, что различные
погрешности, которые были допущены в расчете, скомпенсировали друг друга.
Считая, что луч проходит вблизи поверхности Солнца, и полагая в формуле
(31.46) величину г0 равной радиусу Солнца, находим Дф 0",87. Напомним,
что это значение для угла отклонения было получено в 1804 г. Однако
проверить его экспериментально долго не представлялось возможным. Затем,
когда была создана общая теория относительности, в ней также был
обнаружен эффект отклонения луча. Однако величина этого отклонения
оказывается равной 1",75, т. е. в два раза большей. Такое расхождение в
предсказаниях очень благоприятно для экспериментальной проверки теорий:
какая же из них является правильной. Поэтому результат первого измерения
этого эффекта во время солнечного затмения 1919 г. ожидался с всеобщим
интересом.
Идея измерения состояла в следующем. Во время солнечного затмения
необходимо сфотографировать звезды вблизи диска Солнца. Ввиду отклонения
луча их положение на фотопластинке будет соот-
(31.43)
и, следовательно, формула (31.41) записывается в виде
(31.44)
(31.45)
2 GM
(31.46)
210
Глава 7. ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ
ветствовать кажущемуся удалению этих звезд от диска Солнца. Истинное
положение этих звезд известно с большой точностью из повседневных
астрономических наблюдений. Поэтому по кажущемуся смещению звезд,
зафиксированному на фотопластинке, можно вычислить угол отклонения Дф.
Результат оказался, без сомнения, ближе к предсказаниям теории
относительности, чем классической теории. Однако точность эксперимента не
была достаточно большой, чтобы исключить всякие сомнения. Большинство
ученых рассматривали эти наблюдения как подтверждение теории
относительности, но были и сомневающиеся. В дальнейшем были проведены
другие измерения, которые согласовались с теорией относительности с еще
большей точностью.
В настоящее время можно считать установленным, что результат теории
относительности подтверждается с точностью, большей 25%, но дискуссия о
смысле этого подтверждения пока не окончена. Дело в том, что разница
между результатами классической теории и теории относительности формально
обусловлена различным соотношением между импульсом и энергией. В
классической теории энергия Е = m0v2/2, а импульс р = m0v, т. е. Е =
vpl2, в релятивистской же - энергия и импульс для фотона связаны формулой
Е - ср. В расчете, который проведен выше, мы применяли к фотону вместо
релятивистского классическое соотношение Е - ср/2. Вследствие этого и
получился результат, в два раза меньший. Поэтому эксперимент по
