Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
(31.24а)
(31.246)
31. Движение планет и комет
201
Формула (31.246) подтверждает ранее доказанное положение о том, что
связанные состояния возможны толь* ко при отрицательной энергии связи, т.
е. отрицательной сумме кинетической и потенциальной энергий. Если полная
энергия положительна, то движение в конечной области невозможно.
Частица движется по гиперболе и уходит на бесконечность. В граничном слу-
1 чае, когда полная энергия равна нулю, частица также уходит на
бесконечность, но по параболе.
Третий закон Кеплера. Этот закон читается так:
квадраты времени обращения различных планет вокруг Солнца относятся как
кубы больших полуосей их эллипсов.
Для доказательства выпишем равенство (31.8а), связывающее период
обращения Т с другими характеристиками движения:
N
2т
Т,
(31.25)
где S - площадь эллипса. Из геометрии известно, что площадь эллипса S =
nab, где а и b - его полуоси (рис. 64). Из формулы (31.21)
непосредственно получаем следующее выражение для полуосей через
эксцентриситет е и параметр р:
а = р/( 1 - е2), Ъ = р!У 1 Из (31.26) следует, что Ь2 = р2/( 1 - е2) -
ра.
(31.26)
(31.27)
С другой стороны, учтем связь между N и р, указанную в (31.20):
(31.28)
Теперь выразим Т2 из уравнения (31.25) и вocпoльзveмcя формулами (31.26)
и
(31.27):
(31.29)
Движение планеты по эллипсу
I
Вид кривой, по которой движется тело в поле центральных сил, определяется
полной энергией тела.
Как доказывается, что движение в попе центральных сип является плоским!
Следствием какого закона сохранения является второй закон Кеплера!
Какие траектории материальной точки возможны в поле тяготения точечного
тепа и при каких условиях они осуществляются! В чем состоит метод
возмущения!
202
Глава 7. ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ
т. е. квадрат времени обращения планеты зависит только от большой полуоси
и пропорционален ее кубу; тем самым третий закон Кеплера доказан.
Эти законы были установлены Кеплером в результате анализа движения
планет, что явилось крупнейшим достижением научной мысли и открыло путь к
формулировке закона тяготения.
В приведенных выше расчетах центр притяжения считался неподвижным, т. е.
масса центрального тела (Солнца) принималась очень большой. Фактически
его масса имеет конечную величину, поэтому как рассматриваемое, так и
центральное тело движутся вокруг их общего центра масс, т. е. возникает
проблема движения двух тел, которая будет проанализирована позднее.
Мы пренебрегали взаимодействием с другими планетами, которое значительно
меньше основного принятого во внимание взаимодействия планеты с Солнцем.
Существует хорошо разработанный метод учета этих дополнительных
взаимодействий. Он называется теорией возмущений, и его суть состоит в
следующем.
В качестве исходного движения берется невозмущенное движение, когда все
дополнительные взаимодействия считаются отсутствующими. Затем вычисляется
изменение в невозмущенном движении, вносимое дополнительным
взаимодействием, т. е. определяется возмущение движения. Поскольку
дополнительные силы очень малы, возмущения оказываются тоже малыми.
Точные значения величйны возмущения представляются в виде бесконечного
ряда членов. Но эти члены быстро убывают по своему значению и для
получения результата с большой точностью бывает обычно достаточным взять
один или максимум несколько первых членов этого ряда. Нет необходимости
рассматривать методы возмущений, поскольку они дают лишь небольшие
поправки к невозмущенному движению. Отметим лишь, что в итоге удается
рассчитать движение планет с громадной точностью. Их наблюдение
проводится также с очень большой точностью. Согласие между теорией и
опытом чрезвычайно хорошее. Чтобы судить о точности вычислений и
наблюдений и одновременно указать на один результат, который в рамках
теории тяготения Ньютона не удается объяснить, скажем несколько слов о
вращении перигелия планет и, в частности, Меркурия.
Вращение перигелия Меркурия. В результате взаимодействия с другими
планетами и других факторов линия, соединяющая Солнце и точку перигелия
орбиты планеты, меняет свою ориентировку в пространстве, вращаясь в
направлении движения планеты. Это явление называется вращением перигелия
планеты. Величина вращения невелика и измеряется угловыми минутами в
столетие. Однако точность расчетов и наблюдений такова, что расхождение
даже в несколько секунд в столетие требует объяснения. Наибольшее
различие имеется у ближайшей к Солнцу планеты Меркурий. Главный вклад во
вра-
31. Движение планет и комет
203
щение перигелия Меркурия дает прецессия, аналогичная прецессии оси
гироскопа (см. гл. 11). Планеты и Солнце вращаются вокруг общего центра
тяжести и также образуют гироскоп, ось которого прецессирует, что
обусловливает вращение перигелия. Небольшое вращение перигелия происходит
за счет сплющенности Солнца и более точного учета самого движения
планеты. Принимая во внимание все факторы, получаем следующий баланс
между результатами расчетов и наблюдений:
