Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
формулой
Поскольку (dг)ф есть элементарная дуга окружности радиуса г, то (с?г)ф =
rdcp; величина (dr)r есть изменение абсолютного значения г, т. е. (dr)r =
dr. Поэтому (31.9) принимает вид
Разделив обе части (31.10) на время перемещения, находим (рис. 62)
ства (31.11) в квадрат и учитывая, что в силу взаимной перпендикулярности
векторов еф и е,. их скалярное произведение равно нулю: (еф, ег) = 0,
получаем для квадрата скорости следующее выражение:
Подставим в формулу (31.3) выражения для радиуса-вектора г в виде г =
е,.г и (31.11) для скорости. По правилу получения векторного произведения
находим
Вектор [е,, еф] является единичным векгоррм, перпендикулярным плоскости
движения. Он фиксирует направление N. Закон сохранения импульса для
абсолютного значения N в полярных координатах на основании (31.13) имеет
следующий вид:
Закон сохранения энергии записывается с помощью (31.12) без
дополнительных вычислений:
Получены два уравнения (31.14) и (31.15) с двумя неизвестными функциями г
(t) и ф (t). Их достаточно, чтобы полностью определить движение. Однако
нас сейчас интересует не вопрос о том, как протекает движение по времени,
а форма траектории. Поэтому исключим из уравнений зависимость от времени.
Из уравнения (31.14) следует, что ф = N/тг2. Подставив это выражение в
уравнение (31.15), исключим из него ф. Далее представим г как
а?г = еф (dr)<p-f er (dr)T.
(31.9)
dr = ефгс?ф -f erdr.
(31.10)
где нф = (rdqldt) - гф, vT = (dr/dt) = г. Возводя обе части равен-
УВ = Уф + ^г = Ггф2 + Г*.
(31.12)
N = тг2ф [е,., еф] = const.
(31.13)
N =з тгг ф = const.
(31.14)
п
(31.15)
31. Движение планет и комет
199
сложную функцию от времени: г (t) - г [ср (t)]. Для удобства решения
введем вместо г функцию
р = 1/г. (31.16)
Получаем
dr dr dy / i \ dy 1 ip JV N dp
dt dy dt dy \ p / dt p2 с/ф mr2 m dy'
Подставив это выражение для г и 1/р из (31.16) вместо г в равенство
(31.15), находим
(¦^)2 + p2~GH^ p = const- (31.17)
Дифференцируя это уравнение еще раз по ф, получаем
0. + Р = С, (31.18)
где С = (Gm2M/N2) > 0. Общее решение уравнения (31.18) хорошо известно:
р = С + Л cos ф-f Z? sin ф, (31.19)
где А и В - произвольные постоянные, которые надо определить из начальных
условий. Правую часть этого равенства можно преобразовать так:
р = С -f A cos ф + В sin ф =
= С -f Y А 2 + В2 \-г А : COS ф + sin ф\ =
\Уа* + & УЖ+В2 )
= С -|- + Z?2 (cos ф0 cos ф -f sin ф0 sin ф) =
= С -f / А2-\-В2 cos (ф - ф0) = С-f cos (ф - ф0)^ =
= -j [1 + е cos (ф - ф0)], (31.20)
где введены обозначения р = (1/С) = N2/Gm2M, е - VA2 -f В2/С и угол ф0
определен равенствами
совфо = А/У А2 В2, sin ф0 = BJY А2 + В2.
Таким образом, уравнение кривой, по которой движется тело (планета), в
полярных координатах имеет следующий вид:
1 р
- = Y =------------------------------
р l-j-есоз (ф -ф0)
(31.21)
Из аналитической геометрии известно, что это есть коническое селение, т.
е. кривая в сечении конуса плоскостью. Величина р называется параметром
орбиты, а постоянная е - эксцентриситетом. Коническое сечение является
либо эллипсом (е <С 1), либо окруж-
200
Глава 7. ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ
Различные возможные траектории движения в поле тяжести точечного тела:
1 - окружность; 2 - эллипс; 3 - парабола; 4 - гипербола
ностью (е = 0), либо параболой (е = 1), либо гиперболой (е > 1).
Из формулы (31.21) видно, что расстояние г до тела принимает минимальное
значение rmin при ср = Фо- Поэтому удобно направить ось полярной системы
координат через точку наибольшего приближения тела к центру притяжения.
Эта точка называется перигелием. Противоположная точка орбиты эллипса
называется афелием. При указанном выборе оси полярной системы координат в
уравнении кривой (31.21) надо положить ф0 - 0 и оно примет еще более
простой вид:
r = р/( 1 -f ecos ф).
(31.21а)
Кривые, описываемые этим уравнением, изображены на рис. 63.
Рассмотрим более подробно движение по эллипсу. На наименьшем удалении гтщ
от центра притяжения тело находится при Ф = 0, а на наибольшем - при ф =
л. Поэтому из (31.21а) можно написать:
rmin = р/(1 ~Ь e)i Ппах -Р/(1-е)- (31.22)
В моменты наименьшего и наибольшего удалений радиальная скорость тела г -
0. Поэтому закон сохранения энергии (31.15) в этих точках с учетом
(31.14) имеет вид
I
Силу притяжения в каждой точно орбиты можно разложить на две компоненты:
тангенци-
альную по скорости и нормальную перпендикулярно скорости. Тангенциальная
компонента обусловливает изменение абсолютного значения скорости планеты,
а нормальная - изменение направления скорости.
N2 j 1
2т I rmin TV2 / 1
7V2 / 1 2т Umaxj
rnAl _____
rmi ii
q niM
- So,
(31.23)
где через E0 обозначена полная энергия тела, т. е. сумма кинетической и
потенциальной энергий. Значение величины р - 1/С дано в равенстве
(31.18). Подставляя выражения (31.22) в (31.23), находим следующую связь
между эксцентриситетом е и энергией Е0:
' _2Я^у/.
\ ^аьпчр)
Еп
Gm3M2
2 TV2
(l-е2)-
