Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
а) с/(г) = - G^, б) F = -G~y. (30.1)
Здесь г - расстояние до движущейся точки, а ее радиус-вектор г
откладывается от точки с массой М, которая рассматривается как
неподвижный источник сил тяготения.
Примером реализации этой модели является движение планет вокруг Солнца.
Масса Солнца (2-1030 кг) больше массы Земли (6-1024 кг) в 332 ООО раз и
больше массы самой массивной планеты солнечной системы Юпитера примерно в
1000 раз. Поэтому с достаточной точностью можно считать Солнце
неподвижным, а планеты - движущимися вокруг него. Расстояние от планет до
Солнца много больше размеров и планет, и Солнца. Например, расстояние от
Солнца до Земли равно около 150 млн. км, а диаметр Солнца около 1,4 млн.
км, диаметр Земли примерно 12 700 км. Таким образом, при рассмотрении
движения Земли и планет вокруг Солнца с большой точностью можно считать
их материальными точками.
184
Глава 7. ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ
Планеты взаимодействуют друг с другом. Однако массы планет во много раз
меньше массы Солнца, а минимальные расстояния между планетами лишь в
несколько раз меньше расстояний от каждой из планет до Солнца. Силы
притяжения между ними во много раз меньше сил притяжения со стороны
Солнца. Поэтому с большой точностью можно пренебречь силами притяжения
между планетами и учитывать только силы, действующие на них со стороны
Солнца. Следовательно, модель движущейся материальной точки в поле сил
тяготения, создаваемой другой материальной точкой, применима к
рассмотрению движений планет солнечной системы. Однако применимость такой
модели для анализа движения спутника около Земли не очевидна. Спутник
движется, например, на расстоянии 400 км от поверхности Земли. Ясно, что
в этой задаче Земля никак не подходит под понятие толченной. И тем не
менее модель точечной
i
55.
Взаимодействие шарообразного тела, у которого сферически симметрично
распределена масса, и материальной точки, помещенной в начале сферической
системы координат
Это тело создает в окружающем пространстве такое же поле тлго* тения, как
если бы вся его масса была сосредоточена в центре шара
Бесконечно малый элемент объема материального тела рассматривается как
материальная точка, масса которой равна произведению плотности на элемент
объема.
Мя д = Мор -f-+ Моп AM Яд,
А Л/Г Л^ЯД
AM.
¦ ЯД
30. Свойства сил тяготения
185
Земли в определенных пределах оказывается применимой и для этого случая,
что обусловливается одной важной особенностью сил, изменяющихся обратно
пропорционально квадрату расстояний, а именно: шарообразное однородное
тело притягивает материальную точку так, как если бы вся его масса была
сосредоточена в его геометрическом центре.
Сила тяготения, действующая на материальную точку со стороны
шарообразного тела. Пусть материальная точка массы т находится в начале
сферической системы координат, а центр шарообразного тела радиуса а,
которое ее притягивает, расположен на оси z на расстоянии R (R >• а)
(рис. 55). Масса шарообразного тела равна М и, следовательно, плотность р
= ЗМ 1(Ака3). В сферической системе координат элемент объема dV = г2 sin
QdQdydr. Заключенная в этом объеме масса тела dM - pdV действует на
помещенную в начале координат точку с силой dF = GmdM/r2. Эту силу можно
разложить на две компоненты: dFz, действующую вдоль оси z, и dF ± - в
перпендикулярном оси z направлении, т. е. в плоскости (х, у).
Ось z проходит через центр шарообразного тела и является осью симметрии
тела. Поэтому у каждого элементарного объема dV имеется симметрично
расположенный объем dV', находящийся на перпендикуляре, опущенном на ось
z из объема dV. Сила тяготения, действующая на материальную точку в
начале координат со стороны массы dM' = рdV', равна по абсолютному
значению силе со стороны массы dM, а направление этой силы таково, что ее
составляющая dFz равна dFz, а составляющая dF'L в плоскости (х, у) по
абсолютному значению равна dFj_ и противоположно направлена. Поэтому dF i
и dF\ взаимно уничтожаются и остается лишь сила вдоль оси z. Это
соображение применимо к любому элементу объема dV. Поэтому суммарная сила
действует вдоль оси z и при ее вычислении от каждого элемента объема
необходимо лишь учитывать эту компоненту, которую обозначим через dF.
Компонента силы со стороны массы dM = pdV по закону взаимодействия
точечных масс равна (рис. 55)
dF - G rruL-^os 6 - Gmp cos 6 sin BdBdydr,
а полная сила
F = Gmp ^ cos 8 sin BdBdtpdr, v
где V под знаком интеграла указывает, что он берется по всему объему
шарообразного тела. Для вычисления интеграла (30.3) распишем его по
переменным:
6 = 6, г = ОВ ф = 2л
/= ^ cos 8 sin QdBdtydr = $ cos8sin8d8 $ dr $ dtp. (80.4)
V 0 = 0 r = OA ф = 0
(30.3)
(30.2)
186
Глава 7. ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ
Интегрирование по dtp в силу аксиальной симметрии дает 2л, а по г от
первого пересечения с поверхностью шара в точке А до второго пересечения
в точке В дает длину хорды АВ - I (0). Эта длина в различных направлениях
