Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
(дА/дх) = 0. Таким образом, потенциальная энергия определена лишь с
точностью до аддитивной постоянной.
Если взять некоторую точку пространства, то можно сказать, что
потенциальная энергия в ней равна любому наперед заданному значению.
Отсюда ясно, что физический смысл имеет не само значение потенциальной
энергии, а лишь разность потенциальных энергий между двумя точками.
Пользуясь имеющимся произволом в выборе потенциальной энергии, можно
положить ее равной любому наперед заданному значению в некоторой точке
пространства. Тогда во всех остальных точках ее значение будет
фиксировано однозначно. Эта процедура придания потенциальной энергии
однозначности называется нормировкой.
Рассмотрим, например, силу тяготения вблизи поверхности Земли. Направим
ось z вертикально и поместим ее начало на поверхности Земли. Тогда
компоненты силы, действующей на материальное тело массы т, равны: Fz - -
mg, Fx = Fy - 0. Следовательно, в соответствии с (27.20) потенциальная
энергия дается выражением U (z) = = mgz + А, где А - постоянная. Если
условимся считать, что на поверхности Земли (z = 0) U = 0, то постоянная
А = 0 и тогда U (z) = mgz. Говорят, что это есть выражение для
потенциальной энергии при нормировке ее значения на нуль на поверхности
Земли. Можно условиться, что на поверхности Земли потенциальная энергия
равна А0. Тогда А - Л0, U (z) = mgz + Л0.
27. Закон сохранения энергии
165
В этом случае говорят, что потенциальная энергия нормирована на значение
А0 на поверхности Земли.
Энергия взаимодействия. Наличие потенциальной энергии у тела обусловлено
взаимодействием этого тела с другими телами, в данном случае с Землей.
Если нет взаимодействия, то нет потенциальной энергии. Будем удалять тело
от поверхности Земли. Силу тяготения можно считать постоянной лишь
приближенно в пределах небольших изменений расстояния тела от поверхности
Земли. При удалении на большие расстояния необходимо принять во внимание
уменьшение силы тяготения обратно пропорционально квадрату расстояния от
центра Земли. Расположим начало координат (точка О) в центре Земли. Сила
тяготения направлена вдоль радиуса г. Составляющие силы, перпендикулярные
радиусу, равны нулю, а абсолютное значение силы зависит только от
расстояния до центра Земли. Нетрудно убедиться, что такая сила является
потенциальной. Для этого вычислим элементарную работу при перемещении на
d\ (рис. 52). Сила, действующая на массу т, равна
2
3
В чем состоит смысл криволинейного интеграла, выражающего работу при
перемещении между двумя точками! От чего зависит этот интеграл в общем
случае)
Что такое потенциальные силы)
Какие критерии потенциальности сил Вы знаете)
Какая существует связь между силами и потенциальной энергией)
Мт г
(27.30)
где М - масса Земли, G - гравитационная постоянная, г/г - единичный
вектор по радиусу от центра Земли. Знак минус означает, что сила
направлена к центру Земли. Элементарная работа при перемещении на dl
равна (рис. 52)
(F, dl) = - G
Мт
Мт
х, л)-
= - в
dlcos а
¦G^dr, (27.31)
где учтено, что вектор г/г является единичным, a dl cos а - проекция
перемещения на направление радиуса, равная перемещению dr вдоль радиуса.
Таким обра-
К доказательству потенциальности силы тяжести
166
Глава 6. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
зом, элементарная работа определяется только перемещением вдоль радиуса и
не зависит от перемещения, перпендикулярного радиусу. Это означает
отсутствие сил тяготения в плоскости, перпендикулярной радиусу.
Элементарная работа в (27.31) зависит только от одной переменной г и ее
дифференциала dr. Поэтому вычисление работы при перемещении тела из
произвольной точки, находящейся на расстоянии Гц в точку на расстоянии г2
сводится к интегрированию функции одной переменной:
Уже сейчас видно, что сила тяготения потенциальна, потому что работа
между точками 1 и 2 зависит только от расстояний гг и г2 от центра Земли
и не зависит от пути, соединяющего эти точки. Ясно, что и работа по
замкнутому пути равна нулю, потому что если вернуться из точки 2 в точку
1 по другому пути, то работа будет равна тому же значению (27.32), но с
обратным знаком, так что полная работа по замкнутому пути 1-2-1 равна
нулю, как это и должно быть для потенциальных сил. Тем самым доказано,
что сила тяготения является потенциальной.
Сравнив (27.32) с общей формулой (27.25), находим потенциальную энергию U
материальной частицы массы пг:
Возникает вопрос о нормировке энергии. Желательно выбрать условие
нормировки так, чтобы оно учитывало физические особенности
взаимодействия, и тогда, возможно, численное значение потенциальной
энергии приобретет более ясный смысл, а не будет чисто формальным числом,
как это было до сих пор. Такое физическое соображение есть. Дело в том,
что если материальное тело удалить от поверхности Земли на бесконечно
большое расстояние, то никакого взаимодействия между телом и Землей не
будет. Это означает, что существование на бесконечности материального
