Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
исходную точку по пути Ь2. В итоге получен интеграл по замкнутому контуру
и равенство (27.18) гласит:
ф (F, Л) = 0. (27.19)
Кружок у знака интеграла означает, что берется интеграл по замкнутому
контуру. По какому конкретно контуру, не обозначено, потому что известно
без этого. При необходимости различить контуры под знаком интеграла могут
быть поставлены соответствующие значки. В исходном определении
потенциального поля говорилось
С" Механика и теория относительности
К доказательству потенциальности поля
I
Потенциальность поля определяется из условия равенства нулю интеграла по
любому замкнутому контуру. Эта формулировка наглядна, но не очень
эффективна. Она напоминает следующую ситуацию: чтобы установить,
прошивает ли человек в данном городе, надо проверить, что он не прошивает
ни в каком другом городе. Болев эффективным является дифференциальное
определение потенциальности поля, которое будет изучено в ну рее
электричества.
162
Глава 6. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Вычисление работы силы в потенциальном поле
Компоненты величин указаны лишь для осей X и у
I
В случае одного измерения любая сила, зависящая тольно от ноорди-нат,
является потенциальной.
о произвольных путях, соединяющих произвольные точки. Поэтому в качестве
замкнутого контура в (27.19) может быть выбран любой.
Утверждение, содержащееся в равенстве (27.19), может быть выражено
словами в форме определения:
1) потенциальным называется поле, в котором работа сил поля по любому
замкнутому контуру равна нулю; и в форме критерия:
2) чтобы поле было потенциальным, необходимо идостаточно, чтобы работа
сил поля по любому замкнутому контуру была равна нулю.
Работа в потенциальном поле. Теперь воспользуемся одной математической
теоремой, которую приведем без доказательства: если Fx, Fy, Fz являются
компонентами потенциальной силы, то существует такая функция U (я, у, z),
с помощью которой эти компоненты выражаются следующими формулами:
(27.20)
$(F, Л) = 0.
Производные дШдх и другие называются частными. Их вычисляют точно так же,
как обычные производные в случае функций одного аргумента, считая, что
при этом все остальные аргументы функций являются постоянными величинами
и не имеют никакого отношения к дифференцированию по рассматриваемому
аргументу. Например, при вычислении
dUldx мы дифференцируем функцию U по я, считая, что у и г постоянны.
Теперь с помощью функции U можно вычислить работу силы в правой части
равенства (27.14). Прежде всего запишем элементарную работу с учетом, что
компонентами перемещения dl по осям
27. Закон сохранения энергии
163
координат являются dx, dy, dz (рис. 51), в виде (F, rfl) = Ь xdlx Fydly
Fzdlz = FXdx -j- Fydy -J- FZdz. Выражая компоненты силы по формулам
(27.20), имеем
(27.21)
(27.22)
Из теории функций одной переменной известно, что величина df =
ние функции при изменении аргумента х на dx. Поэтому аналогично величину
(dUldx) dx считаем приращением U при изменении аргумента х на dx, если
другие аргументы постоянны. При смещении на величину dl полное приращение
U складывается из приращений (dU/dx) dx, (dU/dy) dy, (dU/dz) dz,
обусловленных соответствующими смещениями по осям х, у, z:
и называется полным дифференциалом. Поэтому выражение (27.22) для
элементарной работы имеет вид
Интегрируя, получаем работу при перемещении из точки 1 в точку 2:
где U1b U2 - значения функции U в точках 1 и 2. Формула (27.25)
непосредственно показывает, что работа в рассматриваемом случае зависит
только от начальной и конечной точек траектории и не зависит от ее вида.
С учетом (27.25) вместо (27.14) имеем
Таким образом, между точками 1 и 2 кинетическая энергия изменилась на
такое же значение, на какое с обратным знаком изменилась величина U при
перемещении между теми же точками. Равенство (27.26) удобно переписать в
виде
~ dx называется дифференциалом функции и выражает прираще-
(27.23)
(F, d\) = - dU.
(27.24)
(2)
(2)
(27.25)
(1)
(27.26)
164
Глава 6. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Отсюда следует, что сумма кинетической энергии и величины U при движении
остается постоянной [в качестве точек 1 я 2 в (27.27) можно взять любые
две точки на траектории]. Поэтому можно написать
U = const.
(27.28)
Величина U называется потенциальной энергией материальной точки, а
равенство (27.28) - законом сохранения энергии. Следует подчеркнуть, что
это равенство выражает не только закон сохранения энергии, но и закон ее
превращения, поскольку описывает взаимопревращения кинетической и
потенциальной энергий.
Нормировка потенциальной энергии. Пока потенциальная энергия определена
как функция, частные производные от которой по координатам, взятые со
знаком минус, должны быть равны соответствующим компонентам силы, как это
записано в (27.20). Если вместо потенциальной энергии U взять другую U' =
U + А, т. е. измененную во всем пространстве на постоянную величину Л, то
от этого силы не изменятся. Например,
= <27-29>
где учтено, что производная от постоянной величины равна нулю, т. е.
